学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 知识点一 基本不等式求最值 1理论依据： (1)设 x，y 为正实数，若 xys(和 s 为定值)，则当 xy 时，积 xy 有最大值，且这个值为 . s2 4 (2)设 x，y 为正实数，若 xyp(积 p 为定值)，则当 xy 时，和 xy 有最小值，且这个值为 2. p 2基本不等式求最值的条件： (1)x，y 必须是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为定值；求和 xy 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值 (3)等号成立的条件是否满足 3利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正 (2)和或积为定值 (3)判断等号能否成立， “一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可 (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的 条件的一致性 知识点二 基本不等式在实际中的应用 基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题解答 不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系； (4)作出结论 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 (1)已知 x ，则 f(x)有( ) 5 2 x24x5 2x4 A最大值 B最小值 5 4 5 4 C最大值 1 D最小值 1 (2)已知 t0，则函数 y的最小值为_ t24t1 t (3)已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_ x 3 y 4 答案 (1)D (2)2 (3)3 解析 (1)f(x) x24x5 2x4 （x2）21 2（x2） 1. 1 2（x2） 1 x2 当且仅当 x2，即 x3 时，等号成立 1 x2 (2)yt 4242， t214t t 1 t 当且仅当 t ，即 t1 或 t1(舍)时，等号成立， 1 t y 的最小值为2. (3)xy1212 ( x 3 y 4) ( x 3 y 4 2 )2 123， ( 1 2) 2 当且仅当 ，即 x ，y2 时，等号成立， x 3 y 4 1 2 3 2 xy 的最大值为 3. 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求 和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑 因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件 跟踪训练 1 (1)设 ab0，则 a2的最小值是( ) 1 ab 1 a（ab） A1 B2 C3 D4 (2)已知 x，y 为正数，且 2xy1，则 的最小值为_ 1 x 1 y 答案 (1)D (2)32 2 解析 (1)a2a2ababa(ab) 1 ab 1 a（ab） 1 ab 1 a（ab） ab224. 1 a（ab） 1 ab 当且仅当 a(ab)1 且 ab1， 即 a，b时取“” 2 2 2 (2)由 2xy1，得 1 x 1 y 2xy x 2xy y 3 32 32， y x 2x y y x 2x y2 当且仅当 ， y x 2x y 即 x，y1 时，等号成立 2 2 22 题型二 基本不等式的综合应用 例 2 (1)已知 x1，y1，且 ln x，ln y 成等比数列，则 xy( ) 1 4 1 4 A有最大值 e B有最大值 e C有最小值 e D有最小值 e 答案 C 解析 由题意得 ln xln y， ( 1 4) 2 1 4 ln xln y ， 1 4 x1，y1，ln xln y0， 又 ln(xy)ln xln y21， ln xln y xye， 即 xy 有最小值为 e. (2)若对任意 x0，a 恒成立，求 a 的取值范围 x x23x1 解 设 f(x)， x x23x1 1 x1 x3 x0，x 2， 1 x f(x) ，即 f(x)max ， 1 5 1 5 a . 1 5 反思与感悟 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f(x)a 恒成立af(x)min. (2)f(x)a 恒成立af(x)max. 跟踪训练 2 (1)设 a0，b0，若是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( ) 3 1 a 1 b A2 B4 C1 D. 1 2 (2)函数 ykx2k1 的图象恒过定点 A，若点 A 又在直线 mxny10 上，则 mn 的最大 值为_ 答案 (1)B (2) 1 8 解析 (1)由题意得，3a3b()2，即 ab1， 3 (ab)2 1 a 1 b ( 1 a 1 b) b a a b 22 4， b a a b 当且仅当 ，即 ab 时，等号成立 b a a b 1 2 (2)yk(x2)1 必经过(2，1)，即点 A(2，1)， 代入得2mn10， 2mn1， mn (2mn) ， 1 2 1 2 ( 2mn 2 ) 2 1 8 当且仅当 2mn 时，等号成立 1 2 题型三 基本不等式的实际应用 例 3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏 目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的 宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm，请确定广告的 高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值 解 设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，ab9 000. 广告的高为 a20，宽为 2b25，其中 a0，b0. 广告的面积 S(a20)(2b25)2ab40b25a500 18 50025a40b18 5002 25a 40b 18 500224 500. 1 000ab 当且仅当 25a40b 时，等号成立，此时 b a，代入式得 a120，从而 b75，即当 5 8 a120，b75 时，S 取得最小值 24 500， 故广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为 24 500 cm2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值 (4)正确写出答案 跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到 B 市，最 ( v 20) 2 快需要_小时 答案 8 解析 设这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t，则 t2 8(小时)， 40016( v 20) 2 v 400 v 16v 400 400 v 16v 400 当且仅当，即 v100 时，等号成立， 400 v 16v 400 此时 t8 小时 1下列函数中，最小值为 4 的函数是( ) Ayx 4 x Bysin x(0x) 4 sin x Cyex4ex Dylog3xlogx81 答案 C 解析 A 中 x1 时，y54，B 中 y4 时，sin x2，D 中 x 与 1 的关系不确定，选 C. 2函数 y(x1)在 xt 处取得最小值，则 t 等于( ) x2x1 x1 A1 B2 2 C3 D4 答案 B 解析 yxx11 x（x1）1 x1 1 x1 1 x1 213， 当且仅当 x1，即 x2 时，等号成立 1 x1 3将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度 的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 答案 C 解析 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架的周长为 l，则 ab2，ab4，lab2426.828(m)要求够用且浪 1 2a2b2ab2ab2 费最少，故选 C. 4函数 f(x)x(42x)的最大值为_ 答案 2 解析 当 x(0，2)时，x，42x0， f(x)x(42x)2， 1 2 2x（42x） 2 2 当且仅当 2x42x，即 x1 时，等号成立 当 x0 或 x2 时， f(x)0， 故 f(x)max2. 5当 x 时，函数 y4x2的最大值为_ 5 4 1 4x5 答案 1 解析 x ，4x50， 5 4 y4x53 1 4x5 3 （54x） 1 54x 2 31 （54x） 1 54x 当且仅当 54x，即 x1 时，等号成立 1 54x 1.用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： “一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等 号一定能取到这三个条件缺一不可 (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适 当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件 (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取 不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 yx (p0) p x 的单调性求得函数的最值 2求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答