学习目标 利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题 知识点一 基线的定义 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确 度越高 知识点二 有关的几个术语 (1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线 所形成的水平角如图所示的 1，2即表示点 A 和点 B 的方位角故 方位角的范围是0，360) (2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的水平 角，它是方位角的另一种表示形式如图，左图中表示北偏东 30，右图中表示南偏西 60. 思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为 30(左图)，240(右图) (3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角 知识点三 解三角形应用题 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过 解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题 (1)解题思路 (2)基本步骤 分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立 一个解三角形的数学模型； 求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； 检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解 (3)主要类型 题型一 测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离 例 1 海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B，C 间的距离是( ) A10 海里 B. 海里 3 10 6 3 C5 海里 D5 海里 26 答案 D 解析 根据题意，可得右图 在ABC 中，A60，B75，AB10， C45. 由正弦定理可得， AB sin C BC sin A 即， 10 2 2 BC 3 2 BC5(海里) 6 反思与感悟 求距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未 知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 跟踪训练 1 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_ m. 答案 60 解析 由题意知，ACB180307575， ABC 为等腰三角形 河宽即 AB 边上的高，这与 AC 边上的高相等， 过 B 作 BDAC 于 D， 河宽BD120sin 3060(m) 题型二 测量两个不可到达点间的距离 例 2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且 3a 2 ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所 示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离 解 ADCADBCDB60， 又DCA60，DAC60. ADCDACa. 3 2 在BCD 中，DBC45， ，BCa. BC sin 30 CD sin 45 6 4 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 a2 a22aa 3 4 3 8 3 2 6 4 a2. 2 2 3 8 ABa. 6 4 蓝方这两支精锐部队之间的距离为a. 6 4 反思与感悟 测量两个不可到达的点之间的距离问题时，首先把求不可到达的两点 A，B 之 间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正、余弦 定理计算其他边 跟踪训练 2 如下图，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距 20 米的 C，D 两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时 A，B 两点间的距离是多少？ 解 由正弦定理得 AC 20sin（4560） sin180（304560） 10(1)(米)， 20sin 105 sin 45 20sin 75 sin 453 BC 20sin 45 sin180（603045） 20(米) 20sin 45 sin 45 在ABC 中，由余弦定理得 AB10(米) AC2BC22AC BCcosBCA6 A，B 两点间的距离为 10米 6 1如图，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜 的是( ) A，c， Bb，c， Cc， Db， 答案 D 解析 a，c 均隔河，故不易测量、测量 b，更合适 2一艘船上午 930 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30的方向，且与它相距 8海里， 2 之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 1000 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75的方向，此船的航速是( )海里/小时 A8() B8() 6262 C16() D16() 6262 答案 D 解析 由题意得在三角形 SAB 中，BAS30， SBA18075105，BSA45. 由正弦定理得， SA sin 105 AB sin 45 即，得 AB8()， 8 2 sin 105 AB sin 4562 因此此船的航速为16()(海里/小时) 8（ 6 2） 1 262 32012 年 10 月 29 日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区 的搜救现场，一条搜救犬从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现 一个生命迹象，然后向右转 105，行进 10 m 到达 C 处发现另一生 命迹象，这时它向右转 135后继续前行回到出发点，那么 x_ m. 答案 10 6 3 解析 由题意CBA75，BCA45， BAC180754560， ，x(m) x sin 45 10 sin 60 10 6 3 4我舰在岛 A 南偏西 50相距 12 海里的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10的方向以每 小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为_海里/时 答案 14 解析 由题可得右图 不妨设我舰追上敌舰时在 C 点 则 AC20，BAC120，AB12， BC212220221220cos 120282，BC28， 速度 v14(海里/时) 28 2 1.解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余 弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这 些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从 几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 2测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离 (2)测量两个不可到达点之间的距离 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图 1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点 A，B 之间的距离转化为应用正弦定理求三 角形边长的问题，然后把 BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题 (如图 2)