金融时间序列模型,潘红宇 编著,ISBN：978-7-81134-287-1 定价：33.00 2008年11月第1版,金融时间序列模型,第一章 收益率,收益率,问题：如果某投资顾问向你介绍两种股票，资产A收益率10，资产B收益率15。根据这句话，你能决定购买哪支股票吗？,收益率,关于收益率的两个特点： 1）收益率的计算与时间长度有关，如果不特别指明时间长度，则表示是年收益率。 2）收益率的大小与风险联系在一起。收益率大的资产风险也大。,计算周期收益率,表1是finance.yahoo得到的关于股票价格的数据。关于股票的原始数据是价格，因此需要根据价格来计算收益率。下面介绍几种计算收益率的情况。,表1：股票价格数据,续前页,计算收益率,用pt表示t时刻的价格 用Rt表示从t-1到t时刻的收益率 div表示红利 n for 1,表示把1股股票拆分成n股,股票周期简单收益率的计算,基本计算方法 带分红时的计算方法（如果支付红利的话，价格pt是支付红利后的价格。） 拆分股票时的计算方法 CH1-returndivsplit.exl有数据演示,周期对数收益率,对数收益率 支付红利或拆股的资产的对数收益率,收益率年度化,例1：假设某资产，每半年支付一次利息，以半年为周期的收益率是5。如果现在投资1元，这个资产的年收益率是多少？,收益率年度化,使用例1的数据计算得到： 简单收益率，用R表示 ： 简单收益率R2510 复利收益率（又称有效收益率，实际收益率），用Re表示： 复利收益率Re（10.05）21）/1=（1.1025-1)/1=10.25% 对数收益率（连续复利收益率），用Rc表示： Rc =LN(1+ Re)=9.758%,如何理解连续复利收益率,投资A元，投资时间n年，年简单收益率R（用小数表示），利息仍然计算利息，那么n年后的收入FVn： 如果每年支付一次利息 如果每年支付m次利息 如果m趋于无穷,如何理解连续复利收益率,例2：假设简单收益率10，一年支付m次利息，那么一年后的收入。 m=1 110 m=4 110.38 m=52 110.51 m=365 110.5155 m无穷大 110.5171,如何理解连续复利收益率,投资等价概念：两个投资活动是等价的如果两项投资初始投资相同，期末收入相同。期末收入的计算按照复利方式计算。,如何理解连续复利收益率,连续复利收益率：以该利率连续支付利息得到的收入与一年支付m次利息的收入相等,年收益率计算公式总结：,简单收益率 Rm周期收益率 复利收益率（有效收益率） 连续复利收益率,多周期收益率,问题：某投资者投资3年，每半年得到一次利率分别是4 5 2 7 2 6。另外一个投资者投资1年，每季度得到一次利息，利率分别是5 7 4 3，请问哪个投资收益率更高呢？,多周期收益率,周期 1 周期 2 周期 3 R1 R2 R3 时刻 0 时刻 1 时刻 2 时刻3 P0 P1 P2 P3,比较不同投资活动,以利息支付为一个周期，如果不同周期收益率不同首先计算出平均的周期收益率？计算方法是计算几何平均。然后再按照前面的方法，把平均周期收益率年度化。 如何理解平均周期收益率？按照平均收益率每个周期得到利息，投资收入与原投资相同。,比较不同的投资活动,例3：假设P0=1,P1=0.7,P2=1,如果初始投资100， 两个周期后的收入？ 每个周期的收益率？ 平均周期收益率？ 每个周期收益率 R1=-0.3, R2=0.42857,比较不同的投资活动,算术平均(R1 + R2)/2=6.4285% 按照该平均收益率计算两个周期后的收入 （1+6.4285%) 2*100100 几何平均： 按照该平均收益率计算两个周期后的收入 1100100,比较不同的投资活动,例4：比较两项投资活动 投资1：100元投资2年期债券，半年支付一次利息，利息5，一至持有到期。 投资2：投资债券，半年重新买卖一次，直到2年期末，投资价格为100,110,104.5,112.86,118.503,比较不同的投资活动,例5：比较下面两个投资活动那个收益率高。 投资1：每3个月一个周期，包括四个周期，收益率分别是5 4 8 2。 投资2：每6个月一个周期，包括两个周期，收益率分别是10 9。,为什么计算几何平均,对于一项多周期的投资每个周期收益率不同该投资等价于另外一个相同时间长度的投资，单新投资每个单周期收益率相等，那么这个收益率就是前一个投资的平均单周期收益率。,例6：多周期收益率的计算,时间 t -2 t - 1 t t + 1 价格 200 210 206 212 1 + R 1.05 .981 1.03 1 + R(2) 1.03 1.01 1 + R(3) 1.06 1+R 1.05 = 210/200 .981 = 206/210 1.03 = 212/206,例题（接上）,1+R(2) 1.03 = 206/200 1.01 = 212/210 1+R(3) 1.06 = 212/200 请自己写出相应的对数收益率,多周期收益率,Pt:表示t时刻金融资产的价格 Rt:Rt=( Pt / Pt-1)-1简单收益率 Rt (n)=( Pt / Pt-n)-1, n周期简单收益率 rt (n)=ln(1+Rt(n) rt =ln(Pt) ln(Pt1) rt (n)=ln(Pt) ln(Ptn),多周期收益率与单周期收益率的关系,根据公式容易推断出： 1+ Rt (n) = Pt / Pt-n =( Pt / Pt-1)( Pt-1 / Pt-2)(Pt-n+1 / Pt-n) =(1+ Rt)( 1+ Rt-1)(1+ Rt-n+1),多周期对数收益率,把前面的关系式求自然对数，下式成立： 几何平均收益率的优点 多周期时，对数收益率进行简单的算术平均，得到的正好是平均的单周期的对数收益率。,金融时间序列模型,统计基础,概率统计概念回顾,什么是随机变量 什么是随机变量的累积分布函数： F(x)=P(Xx) 正态分布： XN(, 2),对数正态分布,如果某随机变量X取自然对数之后服从正态分布LN(X)=zN（z，z2），那么该随机变量X服从对数正态分布。记为XLNN（ z ，z2 ）。 对数正态分布的均值：,对数正态分布的形状,分布图,对数正态分布的计算,例7：计算对数正态分布的概率 如果LN(X)N(0,(0.1)2) 那么P(X0.9)的概率？ P(X0.9) P(LN(X)LN(0.9) P(zLN(0.9)=0.6469,统计概念回顾,随机变量的期望： =E(X) 随机变量的方差： 2=E(X- )2 矩k-阶矩E(Xk),k-阶中心矩E(X)k 偏度：S=E(X-)3/3 峰度：KE(X-)4/4,偏度,S=0 S0 S0,均值中位数 均值中位数 均值中位数,峰度,K=3 K3 K3,正态分布的峰度3,基本的统计概念,尖峰分布主要强调分布尾部的特点。尾部厚的含义是尾部比正态分布有更大的概率。 用公式表示为：PYpXc，c是一个比较小的数。Y代表尖峰分布随机变量，X代表正态分布随机变量。 意义是：如果小概率事件发生的可能性大于正态分布所描述的情形，那该变量的分布应用尖峰分布来描述。,基本的统计概念：描述统计,样本均值Mean,收益率的分布 基本的统计概念,样本方差variance,收益率的分布 基本的统计概念,样本偏度(Skewness),收益率的分布 基本的统计概念,样本峰度kurtosis,收益率的实证性质日收益率,证券种类 价值加权指数 等权指数 IBM CMC,均值 标准差 偏度 峰度-3 0.044% 0.89 -1.33 34.92 0.073 0.76 -0.93 26.03 0.039 1.42 -0.18 12.48 0.143 5.24 0.93 6.49,收益率的实证性质月收益率,证券种类 价值加权指数 等权指数 IBM CMC,均值 标准差 偏度 峰度-3 0.96 4.33 -0.29 2.42 1.25 5.77 0.07 4.14 0.81 6.18 -0.14 0.83 1.64 17.76 1.13 3.33,基本的统计概念,1）从描述统计可以看到日收益率的峰度远远大于月收益率的峰度。在日收益率中指数的峰度大于单个证券的峰度， 2）证券的描述统计指标市值小的股票收益率大。日收益率几乎等于0，月收益率大一些。 3）指数的标准差小于单个股票的标准差。,QQ图,把数据减去均值，除以标准差，然后计算样本分位数，标在横轴上。 计算标准正态分布的分位数标在纵轴上。 如果图形是直线，说明是正态分布。,尖峰分布的QQ图,QQ图,分位数,如果某个随机变量的累积概率分布函数 F（x）连续并且严格递增，那么存在逆函数F-1。对任意在0和1之间的数q （q对应某个概率），F-1(q)被称为与概率q对应的分位数。 用公式表示如下： P(X F-1(q) ) = q,分位数,分位数图示,样本分位数的计算,对于一组观测值：X1,X2,Xn: 令Pi=(i-0.5)/n Pi是一个概率值， i1，n 与Pi对应的分位数是x(i) ，是把数据从小到大排列后的第i个数。表示成Q(Pi)= x(i),例题,例8：数据为1.1 3.1 0.9 4.2 0.7 首先从小到大排列0.7 0.9 1.1 3.1 4.2 与概率Pi对应的分位数 P1=(1-0.5)/5=0.1 Q(0.1)=0.7 P2=0.3 Q(0.3)=0.9 P3=0.5 Q(0.5)=1.1 P4=0.7 Q(0.7)=3.1 P5=0.9 Q(0.9)=4.2,分位数,如何得到一个连续的曲线呢？即任何一个概率值对应的分位数是多少？ 定义PiP Pi+1 则P= Pi+a(Pi+1 - Pi ), P= (1-a) Pi+ aPi+1，其中a=(P-Pi)/(Pi+1-Pi) 那么Q(P)=(1-a)Q(Pi)+aQ(Pi+1),分位数,例9：使用例2的数据计算与P=0.2对应的分位数 P1=0.1,P2=0.3 ，Q(P1)=0.7,Q(P2)=0.9 a（0.2-0.1)/(0.3-0.1)=0.5 P= (1-a) P1+ aP2 Q(P)=(1-0.5)*0.7+0.5*0.9=0.8,分位数,离散情况,连续情况,概率,分位数,检验数据是否是正态分布,检验统计量 其中S是偏度的某种度量，K是峰度的度量,n是样本个数。,假设检验,检验过程如下： 1）零假设H0：该组数据为正态分布 2）计算出JB。 3）当零假设成立时，统计量JB服从2（2）分布。例如5%显著水平，对应的临界值=5.99，即P（X5.99）=0.05。 假设步骤2计算出的JB135.99，所以拒绝零假设。,多个随机变量的统计概念,如何度量两个随机变量之间的关系？ 什么是联合分布FX，Y(x,y) 什么是边际分布F(x) F(y) 什么是条件分布：给定一个随机变量X的取值后，另外一个随机变量Y的分布,记为： F(y|X=x) 条件期望给定X的取值时，Y的期望 条件方差给定 X的取值时，Y的方差,条件期望的累期望法则,E(Y)=EE(Y|X) 中条件期望根据Y基于X的条件分布计算出来； 外的期望是根据X的边际分布计算出来的。 条件期望E(Y|X)是随机变量，随着X等于不同的数值，条件期望也可以不同。,多个随机变量的统计概