第十章 状态空间分析与综合,9.1 引言 9.2 状态空间和状态方程 9.3 线性系统状态空间表达式的建立 9.4 线性定常系统连续状态方程的解 9.5 线性定常系统的可控性与可观测性分析 9.6 线性定常系统的状态反馈和状态观测器 9.7 李雅普诺夫稳定性分析 下一页,9.1 引言 经典控制理论中常常采用系统关系来输入和输出之间的来描述一个控制系统。这称之为控制系统的输入输出描述。微分方程和传递函数就是属于这种系统描述所采用的数学模型。经典控制理论分析和设计控制系统所采用的方法是频率特性法和根轨迹法。这两种方法用来分析和设计线性、定常单变量系统是很有效的。 但是，对于非线性系统、时变系统、多变量系统等，经典控制理论就显得无能为力了。同时，随着生产过程自动化水平要求的提高，控制系统的任务越来越复杂，控制精度要求也越来越高，因此，建立在状态空间分析方法基础上的现代控制理论便迅速地发展起来。 上一页 下一页,9.2 状态空间和状态方程 9.2.1状态空间方法的几个基本概念 状态：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。 状态变量： 状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。一个用n微分方程描述的系统就有n个独立的变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的行为也就完全被确定。因此，由n微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变量具有非唯一性，因为不同的状态变量业能表达同一个系统的行为。 状态向量：若以n个状态变量 向量x(t)的分量，则x(t)称为状态向量。 上一页 下一页,状态空间：以状态变量 构成的n维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量x(t)在状态空间中是一个点。系统随时间的变化过程，使x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹。 状态空间表达式：将反映系统动态过程的n微分方程或传递函数 ，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。将状态方程与描述系统状态变量与系统输出变量之间的关系的输出方程一起就构成了状态空间表达式。下面就是状态空间表达式的标准描述 式中,分别为状态向量及其一阶导数, u(t),y(t)分别为系统的输入变量和输出变量, A, B, C分别为具有一定维数的系统矩阵。 上一页 下一页,(9-1),9.2.2 几个示例 【例9-1】 RLC电路的状态空间模型 设有如图9-1所示的RLC 电路，根据电工学的定理可以建立RLC电路的动态过程的微分方程为: 上一页 下一页,设 为输入量，i(t)为输出量 ，并选择i(t)和 为RLC电路状态变量，即设,（9.2）,（9.3）,图9-1,可推导一阶微分方程组 写成状态方程，有 再设y(t)=i(t)，则相应的输出方程为 上一页 下一页,(9-4),(9-5),再将式(9-5)、(9-6)写成式(9-1)的形式 其中， x(t) = , A = , B = , C = 1 0 上一页 下一页,(9-6),【例9-2】直流电动机速度控制系统 控制系统的一个常用的执行器是直流电动机。它可以直接提供旋转运动，以及，通过飞轮、鼓和缆的耦合，可以提供变迁运动。图9-2给出了一个电动机电枢绕组电路和连接着自由体的转子部分的示意图。 图9-2 直流电动机控制系统示意图 假定对上述对象，我们有以下物理参数：转子的转动惯量J= 0.01千克米2/秒2, 机械系统的阻尼比b=0.1牛米，电/力常数(K=Ke=Kt) = 0.01 牛米/安，电阻(R) = 1欧姆，电感L=0.5H，系统的输入为电压，输出轴的位置()，假定轴和转子是刚性的。 电动机力矩T与电枢电流i成正比，比例系数为 ，反电势e与旋转角速度 成正比，其关系式如下： 上一页 下一页,(9-7),在SI单位中， (电势常数)等于 （电动机常数）。 由图9-2，根据牛顿定律和基尔霍夫定律，可得微分方程组如下: 选择轴的角速度 和电流i为状态变量，电压为系统输入，角速度为系统输出，可得到状态空间表达式如下：,(9-8),描述系统的数学模型状态空间描述将包括以下两个部分： (a) 输入对状态的作用关系式，它由状态方程来描述，是一组一阶微分方程式，或者是矩阵向量方程式。 上一页 下一页,(9-9),(9-10a),上式中，x(t)是状态向量，A，B为系数矩阵，u(t)为输入信号。 (b) 状态变量和输出信号的关系式 式中：y(t)为输出信号，C为输出矩阵（或向量）。上式称为系统的输出方程式或称之为量测方程。 图9-3给出了状态空间表达式的结果示意图。 图9-3 状态空间表达式结构示意图 上一页 下一页,(9-10b),9.3 线性系统状态空间表达式的建立 9.3.1高阶微分方程到状态空间描述 1. 输入信号不含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述 设单输入/单输出的控制系统的动态过程由下列n阶微分方程来描述 式中， 为系统的输出信号（输出量）及其个阶导数，u为系统的生产信号（输入量）；a1, a2, , an 为常系数。 若已知初始条件 及 时刻的输入信号u(t)，则系统在任何时刻的行为便可完全确定，所以可选取y(t)及y(t)的各阶导数作为状态变量，即状态变量 可取为 上一页 下一页,(9-11),(9-12),则式（9-11）可以改写为,(9-13),将上式写成向量和矩阵的形式可得 式中， C=1 0 0 0 上一页 下一页, A =, B =,这里，x为n1维列向量，A为nn阶矩阵，B为n1维列向量，C为1n维列向量, u, y分别为系统的输入信号和输出信号。 式（9-14）即为控制系统的状态空间描述，式中矩阵A的形式为可控标准型。图9-4给出了状态空间表达式的结构图。 图9-4 系统结构图 【例9-3】 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 上一页 下一页,(9-15),式中，u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。 解：选取状态变量为 则式（9-15）可改写成 将上式写成矩阵微分方程形式,上两式可写成如下标准形式： 式中 式（9-16）即为所求的系统的状态空间描述。 上一页 下一页,(9-16),2输入信号包含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述 设控制系统由下列n阶微分方程来描述 这时，不能简单地把 选作状态变量，即不能采用上述的方法。因为化成一阶微分方程组,(9-17),(9-18),选择一组状态变量的原则是，应使导出的一阶微分方程组中，不能出现u(t)的导数项。为此，可选取以下n个变量作为一组状态变量 式（9-19）中 上一页 下一页,(9-19),(9-20),这样，就可以保证系统有唯一解。 式（9-19）可改写成 将上式改写成矩阵向量形式 上一页 下一页,(9-21),(9-22),其中 C=1 0 0 0， 式（9-22）即为含有输入信号导数项的控制系统的状态空间描述（包括状态方程和输出方程）. 【例9-4】 设一控制系统的动态方程用微分方程表示为 试求该控制系统的状态空间描述。 上一页 下一页, A =, B=,(9-23),解：将式（9-23）对照式（9-17）可得， 由式（9-20）可计算得 由式（9-22）可写出控制系统的状态空间描述为,9.3.2 将传递函数转换成状态空间描述 1设控制系统的闭环传递函数为 令上式中 按下式选取 为状态变量，即 上一页 下一页,(9-24),(9-25),(9-26),上式中，e(t)为E(s)的反拉氏变换，也即变量E(s)的时域表示。将式（9-25）进行反拉氏变换，并将式（9-26）关系代入，则式（9-25）可改写成 由式（9-26）和式（9-27）可得 上一页 下一页,(9-27),(9-28),由上式和式(9-27)可以得到状态空间描述为 【例9-5】设控制系统的传递函数为 上一页 下一页,(9-29),(9-30),试求系统的状态空间描述. 解：将系统的传递函数对照式(9-24)可得， 再由式（9-29）, (9-30)可得系统的状态空间表达式为 上一页 下一幻灯片,