第二章 函数、极限与连续,第一节 函数 第二节 数列极其极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要的极限 第七节 无穷小的比较 第八节 初等函数的连续性与间断性 第九节 初等函数的连续性,第一节 函数,.函数的定义,一、函数的概念,通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.,显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.,2.函数的定义域,1. 函数中有分式,要求分母不能为零 2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方 3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零 4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域 5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集,例1 求下列函数的定义域,3.函数与函数值的记号,4. 函数的表示方法,表示函数的方法,最常用的有以下三种:,2-1,在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.,求分段函数的函数值时，应将 自变量的值代入相应取值范围的表示进行计算.,1.函数的奇偶性,二、函数的几种特性,2.函数的单调性,上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.,单调增加(或单调减少)函数的图形沿 轴的正向上升(或下降).,证,3.函数的周期性,4.函数有界性,上述定义也适用于闭区间和无穷区间.,三、复合函数,例5 指出下列复合函数的复合过程,解,四、反函数,解,定义4 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.,五、初等函数,例7 用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.,解,六、建立函数关系举例,解,从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们；然后把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系，找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。,思考题,课堂练习题,答案,答案,第二节 数列及极限,一、数列的极限,例1 观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限,由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：,通过以上例题，可以推得以下结论：,数列极限四则运算法则：,二、数列极限的四则运算,解,例3 求下列各极限.,解,三、无穷递递缩等比数列的求和公式,这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.,解,(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.,(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.,四、数列极限的性质,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第三节 函数的极限,一、,先看下面的例子.,二、,例3 观察并写出下列函数的极限:,解,2-19,2-20,三、左极限与右极限,解,解,四、函数的性质,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第四节、无穷小与穷大,1.无穷小的定义,在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.,一、无穷小与无穷大的定义及其关系,应当注意以下几点:,2.无穷大的定义,与无穷小相仿,应当注意以下几点:,3.无穷小与无穷大的关系,解,例2 以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?,解,例3 讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?,解,1.无穷小与函数极限之间的关系,2.无穷小的性质及推论,性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,性质2 有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小,性质3 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2 无穷小的正整数次幂仍为无穷小.,二、无穷小的性质,解,解,思考题,课堂练习题,答案,答案,第五节 极限的运算法则,解,解,解,解,解,解,解,解,解,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第六节 两个重要的极限,一、,证,解,解,解,解,解,二、,解,解,解,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第七节 无穷小的比较,已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？,表13-3 三个无穷小趋向零的快慢程度,解,解,同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.,本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换.,解,解,解,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第八节 函数的连续性与间断性,连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.,一、函数连续性的概念,(一)函数的增量,解,(二)函数的连续性,图2-24 函数连续性与间断点,那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？,这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.,证明,下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.,解,显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这是连续函数的几何特性.,1.间断点,下面三个函数在x =1的连续性.,二、函数的间断点,2.间断点的分类,例5 求下列函数的间断点，并说明其类型.,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第九节 初等函数的连续性,1.基本初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内都是连续的.,2.连续函数的和、差、积、商的连续性,一、初等函数的连续性,3.反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.,4.复合函数的连续性,连续函数的复合函数仍为连续函数,在求复合函数极限时，若内外层函数均为连续函数，则极限符号与函数符号可层层交换次序，即,上式也可写成,解,解,5.初等函数的连续性,一切初等函数在定义区间内都是连续的.,解,解,解,1.最大值与最小值性质,定理4 在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.,二、闭区间上连续函数的性质,此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.,2.介值性,证,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,1.证明：,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,1.证明：,返回,2.证明,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,2.证明：,返回,