区间估计,引例 已知 X N ( ,1),不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求., 的无偏、有效点估计为,7.3,如引例中，要找一个区间,使其包含 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ),取,查表得,这说明,即,称随机区间,为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.,反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 的真值, 而包含真值的区间占95%.,置信区间的意义,若测得 一组样本值,它可能包含也可能不包含 的真值, 反复,抽样得到的区间中有95%包含 的真值.,算得,取 = 0.05,设 为待估参数, 是一给定的数,( 01). 若能找到统计量, 使,置信区间或区间估计.,置信下限,置信上限,置信区间的定义,定义, 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠.,置信区间的长度 反映了估计精度, 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但, 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个.,几点说明,越小, 估计精度越高.,这时, 往往增大, 因而估计精度降低.,处理“可靠性与精度关系”的原则,寻找一个样本的函数,它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由 的点估计出发考虑 ).,例如,求置信区间的步骤, 称为枢轴量,取枢轴量,给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得,( 引例中,由,解出,得置信区间,引例中,(一) 一个正态总体 X N ( 2)的情形,置信区间常用公式,(1) 方差 2已知, 的置信区间,公式(一) (1),解,得 的置信度为 的置信区间为,(2) 方差 2未知 , 的置信区间,由,确定,故 的置信区间为,推导 选取枢轴量,公式(2),(3) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间,取枢轴量 ，,得 2 的置信度为 置信区间为,由概率,公式(3),(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间,选取,得 2 的置信区间为,则由,公式(4),例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从,解 (1),即,正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机,(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.,抽取 6 件, 测得直径为,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1,例1,由给定数据算得,由公式 (1) 得 的置信区间为,(2) 取,查表,由给定数据算得,由公式 (4) 得 2 的置信区间为,(3) 选取枢轴量,查表得,由公式 (2) 得 的置信区间为,为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本,为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本,置信度为 1 ,分别表示两样本的均值与方差,(二) 两个正态总体的情形,(二),相互独立,的置信区间为,公式(5),(2) 未知( 但 ) 的置信区间,的置信区间为,公式(6),相互独立,(3) 未知, n, m 50, 的置信区间,公式(7),令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2, n, 可以将它们看成来 自正态总体 Z N ( 1 2 , 12 + 22) 的样本,仿单个正态总体公式(2) 的置信区间为,(4) 未知, 但 n = m , 的置信区间,公式(8),取枢轴量,公式(9),取枢轴量,公式(10),例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番 茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量 分别为13与17的两个相互独立的样本,与,已知,假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量 都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2,例2,解,查表得,由公式(6) 的置信区间为,(1) 取枢轴量,(2) 枢轴量为,查表得,由公式(9)得方差比 的置信区间为,(三) 单侧置信区间,定义 对于给定的 (0 1) , 是待估参数,是总体 X 的样本,若能确定一个统计量,使得,则称,为置信度为1 - 的单侧置信区间.,(三),例3 已知灯泡寿命X 服从正态分布, 从中 随机抽取 5 只作寿命试验, 测得寿命为 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小时) 求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命 方差的单侧置信上限.,解,未知,例3,取,(1) 选取枢轴量,(2) 选取枢轴量,若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视,若2已知, 则 的置信度为1 - 的置信区间 可取为,若2未知, 则 的置信度为1 - 的置信区间 可取为,(四) 非正态总体均值的区间估计,(四),例4 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为,求 p 的置信度为 1 的置信区间,解,令,所以参数 p 的置信区间为( p1, p2 ),例如 自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.,p 的置信区间为,