项目三 空间力系分析及平衡问题,序言,（能力目标） 会分析空间汇交力系的合成与平衡 会计算力对轴之矩和力对点之矩 会计算空间力系的力偶矩 会分析空间力偶系的合成与平衡条件 会分析力系向一点简化 会应用空间任意力系的平衡方程 （工作任务） 理解力在直角坐标轴上的投影、空间汇交力系的合成与平衡条件 理解空间力偶系的合成与平衡条件 了解力系向一点简化的方法 掌握空间任意力系的平衡方程的应用 了解求取物体重心的方法,案例任务描述 在图3-1（a）中，已知皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F。已知皮带轮的直径D，曲柄长R,皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为和，如何确定皮带拉力和轴承反力？ 解决任务思路 解决该系统中皮带拉力和轴承反力的计算问题，首先以整个轴为研究对象，确定在轴上、曲柄上已知作用力及轴承反力，选坐标列出空间力系平衡方程进行计算。,案例导入,案例引入,在图中，已知皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F。已知皮带轮的直径D，曲柄长R,皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为和，如何确定皮带拉力和轴承反力？,一 、力在空间直角坐标轴上的投影,一次（直接）投影法：力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为、, 则力F在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦,o,y,x,z,F,Fx,Fy,Fz,任务3.1 空间汇交力系分析及平衡计算,二次（间接）投影法:,o,y,z,F,Fx,Fy,Fz,Fxy,力在三个坐标轴上的投影分别为 ：,x,若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即 :,二、空间汇交力系的合成与平衡条件,1、空间汇交力系的合成 合力的大小和方向余弦分别为,2平衡条件 空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零，即 其平衡方程式为,实例 起吊装置如图3-6(a)所示，起重杆A端用球铰链固定在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于x轴。若已知 如图(b)所示，物重P=10KN。不计杆重，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。,解：取起重杆与重物为研究对象，受力如图3-6 (a)。由已知条件建立图示坐标系，由平衡方程 解得 FA为正值，表明所设FA的方向正确，AB为压杆。,一、力对轴之矩和力对点之矩,门上作用一力F，使其绕固定轴z转动。Fxy对z轴之矩就是力F对z轴之矩,用Mz（F）表示。则：,O,Fxy,d,规定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。,A,x,y,Fx,Fy,a,b,任务3.2 空间力偶系分析及平衡计算,力对轴之矩,合力矩定理 ：如一空间力系由F1、F2、Fn组成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。,例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩z。,x,z,FZ,Fxy,x,y,Fxy,Fxy,Fy,Fx,10,15,5,Fx,Fy,力对点之矩,对空间力系，除了力矩的大小和转向，还必须表明力的作用线与矩心所在的平面在空间的方位。 力对点之矩与力对轴之矩的关系 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩。,二、空间力偶系,力偶矩矢 空间力偶对物体的作用决定于力偶三要素： 1、力偶矩的大小； 2、力偶作用面在空间的方位； 3、力偶在作用面内的转向。,力偶等效条件,若两力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。,空间力偶系的合成与平衡条件,力偶系的合成 空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于分力偶矩矢的矢量和,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和等于零。 平衡方程为,一、空间任意力系向一点简化、主矢和主矩 空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。,结论： 空间任意力系向任选点简化，可得一个力和一个力偶。力的大小、方向等于力系的主矢量，作用线通过简化中心；力偶的矩矢等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心位置无关，主矩则与简化中心位置有关。,任务3.3 空间任意力系分析及平衡计算,力系对不同简化中心的主矩,力系对O 点的主矩等于对O的主矩与通过O点的力对O点之矩的矢量和。,二、空间任意力系的简化结果分析,1.力系的简化结果 力系向任一点简化的结果及简化的最后结果如表3-1所示。 空间任意力系简化的最后结果有四种情形：合力、合力偶、力螺旋和平衡。,合力矩定理的一般形式,合力对任一点之矩矢等于力系中各力对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。,三、空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即,平衡方程：,实例：图所示的三轮小车，自重P=8KN，作用于点E，载荷P1=10KN作用于点C。求小车静止时地面对车轮的约束力。,解：取小车为研究对象，受力如图3-18所示。5个力构成空间平行力系。建立图示坐标系，由平衡方程 解得,空间力系平衡问题的平面解法,在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的研究方法，称为空间问题的平面解法。,例：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿轮的分度圆直径d=282.5mm，L=105mm，L1=110.5mm，圆周力Ft=1284.8N，径向力Fr=467.7N，不计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩MT。,A,D,B,FAV,FAH,FBH,FBV,y,x,z,FT,Fr,L/2,L/2,L1,MT,xz面:,x,z,MT,FAH,FBH,FAV,FBV,FT,Fr,yz面:,z,y,FAV,FBV,Fr,xy面:,x,y,FAH,FBH,FT,一、 物体的重心 物体的重力就是地球对它的吸引力。如果把物体视为由许多质点组成，由于地球比所研究的物体大得多，作用在这些质点上的重力形成的力系可以认为是一个铅垂的平行力系。这个空间平行力系的中心称为物体的重心。,任务3.4 物体的重心,重心的一般公式,对于匀质的物体 匀质物体的重心，只决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关，因此又称为形心。,面体体形的重心坐标公式 对于匀质线段如等截面匀质细长曲杆、细金属丝，其重心坐标公式,二、确定物体重心的几种方法,1、对称法 对于具有对称轴、对称面或对称中心的匀质物体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这种物体的重心必在对称轴、对称面或对称中心上。如圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的重心在垂直于底边的中线上。,2、积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据式（3-27）、（3-28）或（3-29）利用积分方法求出形体的重心从而得到简单图形的形心表3-2。,3.组合法 工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体组成的，而简单形体重心位置根据对称性或查表很容易确定。因而可将组合形体分割为若干的简单几何形体，然后应用下式求出组合形体的重心位置：（ 是整个面积体的面积 ）,实例 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心的位置。,解：取Oxy坐标系如图所示，角钢截面可用虚线分为两个矩形。两矩形的形心位置C1和C2处于矩形对角线的交点，坐标分别为,两个矩形的面积分别为 将以上数值代入式（3-30），得到角钢截面对Oxy坐标系的形心坐标为,4.负面积法 如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整的，然后把切去的部分视为负面积，运用式（3-30）求出形心。负面积法可以认为是形体组合法的推广。,5.试验法 对于某些形状复杂的机械零部件，在工程实际中常采用试验方法来测定其重心。试验法往往比计算法直接、简便，并具有足够的准确性。,常用的试验方法有如下两种： 1、悬挂法 对于形状复杂的薄平板求形心时可以采用悬挂法。如图3-26所示，首先将板悬挂于任一点A，则可以判断薄平板的形心在绳子向下的延长线AD上；然后将薄平板悬挂于另一点B，其形心在绳子向下的延长线BE上。显然，AD与BE的交点即为薄平板的形心C。,2、称重法 形状复杂或体积庞大的物体，可以采用称重法求重心。,例如内燃机的连杆，其重心必在对称中心线AB上，如图所示，我们只需确定重心在中心线AB上的确切位置。,项目知识能力结构总结,