第五节 曲线的弧微分与曲率,一、曲线的弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率半径与曲率圆,规定：,一、曲线的弧微分,单调增函数,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),二、曲率及其计算公式,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,曲率的计算公式,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,例1,解,显然,定义,三、曲率圆与曲率半径,2004-4-10,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例2 设工件内表面的截线为抛物线 .现在要用 砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小.因此,所以，K=0.8,因而，求得抛物线顶点处的曲率半径,