,2,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,3,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,留数定理,留数在定积 分上的应用,4,1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,5,i) 可去奇点,6,ii) 极点,7,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,8,iii)本性奇点,9,3)函数的零点与极点的关系,10,2. 留数,11,12,如果 为 的一级极点, 那末,a),2)留数的计算方法,13,14,3)无穷远点的留数,15,定理,16,3. 留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积分,正方向绕行一周.,17,18,2）无穷积分,19,3）混合型无穷积分,20,特别地,21,三、典型例题,解,22,解,23,24,例2 求函数 的奇点，并确 定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,25,例3 证明 是 的六级极点.,证,26,例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,27,解,28,解,为奇点,当 时 为一级极点，,29,30,例5 计算积分,为一级极点， 为七级极点.,解,31,由留数定理得,32,例6,解,在 内,33,34,解,例7 计算,35,36,例8 计算,解,令,37,极点为：,38,例9 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,39,40,例10 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,41,放映结束，按Esc退出.,