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第十章 微分方程与差分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程及其解法,第三节 一阶微分方程在经济中的应用,第四节 可降阶的高阶微分方程,第五节 二阶常系数线性微分方程,第六节 一阶差分方程,第七节 一阶差分方程的简单经济应用,第三节,一阶微分方程在经济中的应用,解 由条件可建立如下的数学模型:,(C为任意常数),即,分离变量并求解此微分方程,得,例1 设某商品的需求量Q对价格P的弹性为 ,若该商品 的最大需求量为N试建立需求量Q与价格N的数学模型;并求出 需求量Q与价格P的函数关系;求当 时, 市场对该商品的需求量;当价格无限增加时,需求量的变化趋势 如何?,所以,当 时,,显然当 时, ,即随着价格的无限增大,需求量将趋于零,由 得,例2 以 表示 时刻的人口总数, 表示 时刻的,时刻的人口的增长率 称 时刻的人口增长率 与,时刻的人口个体总数之比 为相对增长率 设,时刻的人口出生率为 ,死亡率为 ,(1)试建立人口总数与人口的增长率的数学模型,(2)在一定环境下,当人口数量少时,资源相对丰富,出 生率增加,死亡率减少;当人口数量增大时,资源相对匮乏, 生存环境变差,出生率减少而死亡率增加,现假设出生率 及死亡率 都是人口总数的线性函数, 给出人口总数 的函数表达式并研究随着时间的增长人口 总数的变化趋势,解 (1)由条件可建立如下的数学模型:,于是,,记 ,这里 ,,(10.25),于是有,这是一个可分离变量的微分方程 分离变量,得,两边积分,得,故方程(10.25)的通解为,(10.26),将初始条件 代入方程(10.26)可解得,(10.27),由方程(10.27)知,,注:习惯上把,当 时, ,即人口总数随着时间的增长 而趋于稳定 成为种群在一定环境下的平衡态,称 方程(10.25)为自然生长方程,它的解(10.27)所对应的 曲线呈 型,称为logistic曲线,称为Logistic方程,该方程的解曲线,称为Logistic曲线在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律,
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