第二章 导数与微分,第一节 导数概念 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 第三节 复合函数的求导法则 第四节 初等函数的求导法 第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法 第六节 高阶导数 第七节 函数的微分 第八节 数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数的导数,1.变速运动的速度,第一节 导数的概念,一、变化率问题举例,2.切线问题,上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比, 在当后者无限趋于零时的极限.此外, 很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.,二、导数的定义,解,三、求导举例,解,解,解,解,四、导数的几何意义,解,解,五、函数的可导性与连续性的关系,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第二节 函数的和、差、积、商的求导法则,第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本初等函数的求导公式.,解,解,解,解,解,解,思考题,答案,课堂练习题,答案,答案,第三节 复合函数的求导法则,上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复合函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.,该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如,解,解,解,解,解,例6 证明导数公式:,证,解,答案,答案,答案,思考题,课堂练习题,答案,答案,第四节 初等函数的求导法,一、反函数的导数,为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.,解,例2 求下列函数的导数：,解,二、初等函数求导问题,1.求导法则,2.基本初等函数求导公式,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法,一、隐函数的导数,有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.,解,二、幂指函数 的导数,解,在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3,解,三、由参数方程所确定函数的求导法,解,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第六节 高阶导数,二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.,由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如,高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此说成二阶导数的一个物理模型.,解,解,解,解,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第七节 函数的微分,一、微分的概念,导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考察和估计函数的改变量.,计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有的.所以当自变量的改变量 很小时,要对函数的改变量 进行估计.,先看一个实例.,解,二、微分的运算,按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，,解,解,解,解,解,三、近似计算,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,*第八节 数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数的导数,一、求一元函数的极限,1.学习Mathematica的命令,Mathematica的求极限命令调用格式为,2.理解函数极概念,解,解,解,3.求一元函数的极限,例4 求下列函数的极限：,解,二、求一元函数的导数,1.学习Mathemmatica命令,Mathematica的求导数命令调用格式为,2.导数概念,根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以求出函数在任何一点处的导数.,Limit(fx+h-fx)/h,h-0,解 定义函数,3.求一元函数的导数,例6 求下列函数的导数；,解,解,返回,返回,返回,1.证明：,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,