新编工程力学基础,第9章 圆轴和梁的强度分析,第一节 截面的几何性质 第二节 圆轴扭转时的强度分析 第三节 梁弯曲时的应力分析 第四节 梁的强度设计 第五节 组合变形杆的强度分析简介,第一节 截面的几何性质,一、惯性矩、惯性积和极惯性矩,图9-1,如图9-1所示，定义： Iz=Ay2dA为截面图形对z轴的惯性矩； Iy=Az2dA为截面图形对y轴的惯性矩； Iyz=AyzdA为截面图形对y轴与z轴的惯性积； Ip=A2dA为截面图形对O点的二次极矩，也称极惯性矩。 因为2=y2+z2，所以Ip=Iy+Iz 可见，图形对某点的极惯性矩等于该图形对过该点的任意一对正交轴的惯性矩之和。在工程中还常用到惯性半径的概念，定义：iz=Iz/A为截面对z轴的惯性半径； iy=Iy/A为截面对y轴的惯性半径。 ,第一节 截面的几何性质,二、惯性主轴 使截面的惯性积为零的一对正交轴称为惯性主轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。过形心的一对主轴称为形心惯性主轴，简称形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,第一节 截面的几何性质,三、惯性矩的计算 对于矩形、圆形等简单图形的截面，其惯性矩可按定义直接用积分法计算；对于组合截面，根据惯性矩的定义，其对某一轴的惯性矩等于各组成部分对同一轴的惯性矩之和，因此可用组合法计算。这时，经常要用到平行轴定理 Iz=IzC+a2A(9-3) 式中，z轴和zC轴为两根平行轴，其中zC轴过截面形心，两轴之间的距离为a。该定理可以用惯性矩的定义直接证明。由定理可知，在互相平行的坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩最小。,第一节 截面的几何性质,第二节 圆轴扭转时的强度分析,一、引言 细长杆件可分为两类：一类以传递机械动力或运动为其主要功能，通常称为轴，如发动机的曲轴，发电机、电动机、汽轮机、水轮机的主轴，各种传动轴，变速箱齿轮轴，带轮轴，钻井用的钻杆等；另一类是以其弹性变形进行工作的，如各类螺旋弹簧、扭簧等。,图9-5,第二节 圆轴扭转时的强度分析,二、横截面上的应力分布 在轴受扭发生小变形后，轴表面纵向线和横向线的变形情况如图9-5a所示。可观察到其变形特点与薄壁圆筒扭转时相同(第六章第三节)： （1）各纵向线近似保持为直线，只是倾斜了同一个微小的角度。 （2）各圆周线绕轴线发生了相对转动，但其形状、大小，以及相邻两圆周线之间的距离都没有改变。 （3）组成网格的小矩形扭歪成平行四边形，即发生了剪切变形。,第二节 圆轴扭转时的强度分析,图9-6,第二节 圆轴扭转时的强度分析,三、圆轴扭转的强度 计算等截面圆轴扭转时的危险截面显然在扭矩最大处，非等截面圆轴的危险截面则可由T/Wp的最大值确定。由于横截面上切应力不是均布的，最大切应力所在的点，即圆轴表面的点为危险点。根据切应力互等定理，在过横截面直径的纵向截面内也存在与x相等的切应力x。按照如图9-7a所示的方法取微元体，可得到如图9-7b所示的纯剪切应力状态，其主应力分别为1=，2=0，3=-，如图9-7c所示。这就是圆轴扭转时任一点处，包括危险点处的应力状态，其中1作用面和3作用面的方向(主方向)与圆轴轴线的夹角为45。这一结果对于应用电测法测量圆轴表面上一点的应力或扭矩是很重要的。此时，可将应变片贴在与轴线呈45的方向上测量1或3。 ,第二节 圆轴扭转时的强度分析,图9-6,第二节 圆轴扭转时的强度分析,四、应力集中,图9-10,第二节 圆轴扭转时的强度分析,切应力公式(9-8)只适用于等截面圆轴和直径变化平缓的小锥度圆轴。对于相邻部分直径发生突变的阶梯轴，在交界处切应力发生很大变化，产生很高的局部应力，这就是应力集中现象。为了减缓应力集中，需要在阶梯轴直径变化处，加工一个较大的过渡圆弧。实际最大切应力与按式(9-8b)计算得到的名义最大切应力之比K，称为应力集中因数。对应于不同的直径比D/d和过渡圆弧半径r的应力集中因数可从工程设计手册中查到，如图9-10所示。,第二节 圆轴扭转时的强度分析,五、非圆截面杆的扭转简介 圆轴是工程中最常用的，但工程中有时也遇到非圆截面杆受扭转的情形，如内燃机曲轴的曲柄臂就是矩形截面，农业机械中有时采用方轴作为传动轴，石油工程中的方钻杆，还有簧丝为矩形截面的弹簧等。对于非圆截面杆，以对称性为基础的扭转变形分析不再有效，平截面假定不再成立。非圆截面杆扭转时，横截面不再保持为平面，而发生翘曲变形，如图9-11所示。 根据横截面的翘曲是否受到约束限制，非圆截面杆的扭转可分为自由扭转和约束扭转两种。,第二节 圆轴扭转时的强度分析,图9-11,第二节 圆轴扭转时的强度分析,第三节 梁弯曲时的应力分析,一、弯曲正应力公式 （一）引言 工程中大多数梁的横截面都有一根对称轴，该轴与梁的轴线形成梁的纵向对称面，这样的梁称为对称截面梁。当引起梁弯曲的外载荷(横向力和力偶)全部位于梁的纵向对称面内时，由于静力、几何、物理(材料性质)三方面的对称性，决定了梁弯曲后的轴线将是纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。对称弯曲属于平面弯曲，即梁(可以是非对称横截面的)弯曲后的轴线是一条平面曲线，且轴线所在平面与载荷所在的纵向平面平行。,如果某段梁的横截面上只有弯矩，没有剪力，这种情形称为纯弯曲，如图9-12a中两端受弯曲力偶作用的梁，图9-12b中受4个对称集中力作用(四点弯曲)而弯曲的简支梁(如火车轮轴)的CD段。如果某段梁的横截面上既有剪力又有弯矩，则称为横力弯曲，如图9-12b中梁的AC段与DB段。,图9-12,第三节 梁弯曲时的应力分析,（二）变形特点和平截面假定 为了观察梁弯曲时的变形，可在梁的侧面画上平行于轴线的纵向直线和平行于横截面的横向直线，形成网格如图9-13a所示。在梁弯曲时可以观察到如图9-13b所示的现象： （1）纵向直线变成了曲线(圆弧)，凹边缩短，凸边伸长。 （2）横向直线保持为直线，仅相对转动了一个角度，仍与纵向曲线正交。,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-13,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-14,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-15,第三节 梁弯曲时的应力分析,（三）物理分析与应力分布 由平截面假定，变形后横截面仍与轴线垂直，故切应变xy和xz均为零。由广义胡克定律，xy=xz=0，横截面上也就没有切应力，只有正应力。 在梁的工程理论中还进一步假定：纵向线段之间不存在相互挤压，即横向正应力y=z=0，这就是单一应力假定。弹性力学可以证明，对纯弯曲而言，这一假定是正确的。,第三节 梁弯曲时的应力分析,（四）平衡方程和弯曲正应力公式经过变形几何分析和物理分析，尚有两个问题没有解决：中性轴的位置和中性层的曲率半径，为此必须研究静力平衡条件。根据单一应力假定，截面上的内力dA组成平行于x轴的空间平行力系。考虑长为dx的梁微段的平衡(图9-16)，梁的横截面上的分布内力的简化结果必须与另一截面的弯矩M相平衡。,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-16,第三节 梁弯曲时的应力分析,二、正应力公式的适用性 梁弯曲的工程理论仍然采用两个基本假定：平截面假定和单一应力假定，因此认为纯弯曲的正应力公式在横力弯曲时仍然适用：x=yM(x)Iz(9-18) 关于梁弯曲的工程理论的适用性，可以从以下几个方面加以说明： （1）如果剪力沿轴线变化，各横截面的翘曲程度不同将引起纵向线段长度的变化，从而产生附加的正应力。但是，对于工程上常用的实心截面的细长梁来说，横截面的翘曲程度很小，由此产生的附加正应力与式(9-18)给出的正应力相比是很小的，通常可以忽略不计。,第三节 梁弯曲时的应力分析,（2）弹性力学的分析表明，最大切应力和最大挤压应力都远小于最大正应力(对矩形截面梁来说，max/xmaxh/(2l)，其中h为梁高，l为梁长，ymax/xmax0.01)，而由它们引起的正应力的修正项也很小。 （3）在梁的强度设计中，通常只是计算最大弯矩截面上的最大正应力，而最大弯矩截面上的剪力FS实际上经常为零，因此应用梁弯曲的工程理论按最大弯矩所设计的梁，其强度通常都是能满足的，故式(9-18)适用于工程结构和机械中大多数细长梁的强度计算(结果略偏小)。对于粗短梁，则需要用其他方法(弹性力学、有限元法、实验应力分析等)来求解。,第三节 梁弯曲时的应力分析,三、弯曲切应力简介 （一）弯曲切应力公式 梁在横力弯曲时，横截面上将产生与剪力FS对应的切应力。然而，确定切应力分布的规律却不能采取与确定正应力分布类似的方法。这是因为对剪力引起的变形无法作出类似平截面假定那样的简单假设，因此采取另一种方法，即利用梁弯曲的工程理论得到的正应力分布规律，考虑梁的一部分的平衡条件，并对切应力分布作一些简化假设，以得到切应力分布的规律。,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-17,第三节 梁弯曲时的应力分析,如图9-17所示，上层梁下部的纵向线段伸长，而下层梁上部的纵向线段缩短，从而沿两层梁的接触面产生了相对滑动。如果是整体梁，就不可能看到明显的滑动，显然是水平方向(平行于梁轴线的)的切应力阻碍了这种滑动。由切应力互等定理可知，水平方向的切应力与横截面上对应高度的切应力相等。求出梁各个高度水平方向的切应力就可确定横截面上切应力沿梁高度的分布规律，这就是分析切应力分布的思路。,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-18,第三节 梁弯曲时的应力分析,（二）几种典型截面梁的切应力分布 矩形截面梁是工程中常用的一种梁。对矩形截面，由图9-19a可算出：S*z=b2h24-y2(9-20a) =FS2Izh24-y2(9-20b) 即横截面上切应力沿高度按抛物线规律变化，如图9-19b所示。最大切应力在中性轴上： max=3FS2bh=1.5FSA(9-20c) 为截面平均切应力的1.5倍。,第三节 梁弯曲时的应力分析,在机械中，圆轴常作为梁。由于圆轴表面切应力为零，根据切应力互等定理，横截面圆周上的点的切应力应沿圆周切向，因此距中性轴为y的高度上的切应力除xy分量外，还有xz分量(弹性力学证明xz比xy的作用小得多)。假设该高度上的切应力方向均指向圆周上两点切线的交点，如图9-20所示，并且假定xy仍沿宽度均布，故仍可用式(9-19)进行计算，xy沿高度仍为抛物线分布。,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-19,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-20,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-21,第三节 梁弯曲时的应力分析,（三）弯曲正应力与切应力大小的比较 例9-6矩形截面简支梁在跨中受集中力F作用，如图9-22所示。试求最大切应力max与最大弯曲正应力max的比值。 解：由剪力图和弯矩图可知，最大弯矩Mmax发生在跨度中点处，且Mmax=Fl/4；剪力FS的大小则在每个截面都相同，FS=F/2，故危险截面位于跨度中点处。正应力最大的点在截面的上、下边处： max=Mmaxh2Iz 最大切应力则发生在中性轴处： max=3FS2bh=3F4bh,第三节 梁弯曲时的应力分析,图9-22,第三节 梁弯曲时的应力分析,第四节 梁的强度设计,一、引言 危险截面，即容易发生强度失效的截面，从剪力图和弯矩图来看就有三种：最大弯矩截面、最大剪力截面以及剪力和弯矩均较大的截面，如图9-23中梁的截面D、A和B。 由于截面上正应力和切应力都不是均布的，截面上首先破坏的点称为危险点。根据横截面上应力分析的结果，在梁的截面上可能存在三类危险点：第一类是正应力最大的点，一般位于弯矩最大的截面上，且距中性轴最远处，即截面上、下边缘；第二类是切应力最大的点，一般位于剪力最大的截面上，对实心截面梁通常在中性轴上，对开口薄壁截面梁则不一定；第三类是正应力和切应力均较大的点，一般位于弯矩和剪力均较大的截面上，且通常位于截面中性轴与上、下边缘之间