第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,第二节 数列的极限,第三节 函数的极限,第四节 无穷小与无穷大,第五节 极限的运算法则,第七节 无穷小量的比较,第八节 函数的连续性,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第九节 闭区间上连续函数的性质,第三节 函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,三、 函数极限的性质,二、自变量趋向于有限值时函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,当x时函数f(x)的极限，与当n 时数列xn=f(n)的极,限类似，所不同的是数列xn=f(n)的自变量n只能取正整数,而函,数f(x)的自变量可以取任何实数.仿照数列极限的定义,函数的极,限定义如下:,定义1,如果存在常数A,对于任意给定的正,总存在正数X,使得当x满足不等式|x|X时，对应的函数值f(x)都,那么常数A就叫做函数f (x)当x时的极限，记作,数 (不论它多么小),满足不等式,定义1可以简单的表述为：,注,证,例1,一般地，若,则称直线y=A是曲线y=f(x)的水,平渐近线.,二、自变量趋向于有限值时函数的极限,先来观察一个简单例子.考察函数,相应函数值的变化趋势.我们通过函数在1附近的取值(见表1-3),作出函数图形,如图所示.,当x趋于1时,表1-3,虽然函数在x=1点没定义，但由表1-3及上图可见，当x趋向,于1时，f(x)趋于2.也就是说,x与1的距离足够小，但不等于1时,f(x)与2的距离可以任意小.我们用,表示数x与x0之,为某一正数.与定义1类似，给出,时，函数极限的定义如下：,间的接近程度，其中,定义2,如果存在常数A,对于任意给定的正,总存在正数,使得当x满足不等式 0|x-x0| 时,对应的函数值f(x),那么就称常数A为函数f (x)当x x0时的极限，记作,数 (不论它多么小),都满足不等式,定义2可以简单的表述为：,注,直线, 定义2中0|x-x0|表示x无限接近x0时，函数 f(x)的极限,是否存在，与 f(x)在x=x0有没有定义无关., 满足0|x-x0| 的点x的集合称为x0的去心邻域；满足,|x-x0| 的点x的集合称为x0的邻域.,的去心邻域时，f(x)的图形位于,之间.,证,例2,所以,要使,证,当x3时,例3,成立.所以,例4,证,要使,只要,？,左、右极限,记作,或,记作,或,定理1,解,例5,x=0是分段函数的分界点.由于,三、 函数极限的性质,”为代表给出这些性质，不再证明.,函数极限的性质及其证明方法都与数列极限的性质有类似，,我们仅以“,（函数极限的唯一性）如果极限,时,有,存在，那么,它的极限唯一.,定理3（函数极限的局部有界性）如果极限,存在，,那么存在常数M0和0,使得当,定理4（函数极限的局部保号性）,A0(或A0,使得当,时,有f(x)0,(或f(x)0).,定理2,如果极限,推论 若在x0的某去心邻域内,且,则,根据定理4，利用反证法容易得出下面的推论,内容小结,1. 函数极限的定义,2. 极限的性质,唯一性 ; 有界性 ; 保号性,左右极限定义,