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难点五难点五 复杂数列的通项公式与求和问题复杂数列的通项公式与求和问题 (对应学生用书第 71 页) 数列在高考中占重要地位,应当牢记等差、等比的通项公式,前n项和公式,等差、等比 数列的性质,以及常见求数列通项的方法,如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒 数等数列求和问题中,对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式;而非等差数列、 非等比数列的求和问题,一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分 组求和法等数列的求和问题多从数列的通项入手,通过分组、错位相减等转化为等差或 等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档 题 一、数列的通项公式 数列的通项公式在数列中占有重要地位,是数列的基础之一,在高考中,等差数列和等比 数列的通项公式,前n项和公式以及它们的性质是必考内容,一般以填空题的形式出现, 属于低中档题,若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融,难度 就较大,也是近几年命题的热点 1由数列的递推关系求通项 由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法: (1)an1anf (n)型,采用叠加法 (2)f (n)型,采用叠乘法 an1 an (3)an1panq(p0,p1)型,转化为等比数列解决 2由Sn与an的关系求通项an Sn与an的关系为:anError! 【例 1】 (2017江苏省南京市迎一模模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足 Snn2an(nN N*) (1)证明:数列an1为等比数列,并求数列an的通项公式; (2)若bn(2n1)an2n1,数列bn的前n项和为Tn,求满足不等式2 010 的 Tn2 2n1 n的最小值 解 (1)证明:当n1 时,2a1a11,a11. 2anSnn,nN N*,2an1Sn1n1,n2, 两式相减得an2an11,n2,即an12(an11),n2, 数列an1为以 2 为首项,2 为公比的等比数列, an12n,an2n1,nN N*; (2)bn(2n1)an2n1(2n1)2n, Tn32522(2n1)2n, 2Tn322523(2n1)2n1, 两式相减可得Tn3222222322n(2n1)2n1, Tn(2n1)2n12, 2 010 可化为 2n12 010, Tn2 2n1 2101 024,2112 048 满足不等式2 010 的n的最小值为 10. Tn2 2n1 点评 利用anSnSn1求通项时,注意n2 这一前提条件,易忽略验证n1 致误, 当n1 时,a1若适合通项,则n1 的情况应并入n2 时的通项;否则an应利用分段函 数的形式表示 二、数列的求和 常见类型及方法 (1)anknb,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)anaqn1,利用等比数列前n项和公式直接求解; (3)anbncn,数列bn,cn是等比数列或等差数列,采用分组求和法求an的前n项 和; (4)anbncn,数列bn,cn分别是等比数列和等差数列,采用错位相减法求和 【例 2】 (扬州市 2017 届高三上学期期末)已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn,且 对任意nN N*,an1an2(bn1bn)恒成立 (1)若Ann2,b12,求Bn; (2)若对任意nN N*,都有anBn及 成立,求正实数 b2 a1a2 b3 a2a3 b4 a3a4 bn1 anan1 1 3 b1的取值范围; (3)若a12,bn2n,是否存在两个互不相等的整数s,t(1st),使, ,成等差 A1 B1 As Bs At Bt 数列?若存在,求出s,t的值;若不存在,请说明理由. 【导学号:56394102】 解 (1)因为Ann2,所以anError! 即an2n1, 故bn1bn (an1an)1,所以数列bn是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, 1 2 所以Bnn2 n(n1)1n2n. 1 2 1 2 3 2 (2)依题意Bn1Bn2(bn1bn),即bn12(bn1bn),即2, bn1 bn 所以数列bn是以b1为首项,2 为公比的等比数列,所以anBnb1b1(2n1), 12n 12 所以, bn1 anan1 2n b12n12n11 因为 bn1 anan1 b12n b12n1b12n11 1 b1( 1 2n1 1 2n11) 所以 b2 a1a2 b3 a2a3 b4 a3a4 bn1 anan1 ,所以 恒成立, 1 b1( 1 211 1 2n11) 1 b1( 1 211 1 2n11) 1 3 即b13,所以b13. (1 1 2n11) (3)由an1an2(bn1bn)得:an1an2n1, 所以当n2 时,an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1 2n2n1232222n12, 当n1 时,上式也成立, 所以An2n242n,又Bn2n12, 所以2, An Bn 2n242n 2n12 n 2n1 假设存在两个互不相等的整数s,t(1st),使, ,成等差数列, A1 B1 As Bs At Bt 等价于,成等差数列,即, 1 211 s 2s1 t 2t1 2s 2s1 1 211 t 2t1 即1,因为 11,所以1,即 2s2s1, 2s 2s1 t 2t1 t 2t1 2s 2s1 令h(s)2s2s1(s2,sN N*),则h(s1)h(s)2s20 所以h(s)递增, 若s3,则h(s)h(3)10,不满足 2s2s1,所以s2, 代入得 2t3t10(t3), 2s 2s1 1 211 t 2t1 当t3 时,显然不符合要求; 当t4 时,令(t)2t3t1(t4,tN N*),则同理可证(t)递增,所以(t) (4)30, 所以不符合要求 所以,不存在正整数s,t(1st),使, ,成等差数列 A1 B1 As Bs At Bt 点评 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有 规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项从而达到求和的目的要注意的 是裂项相消法的前提是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项,且在求和过程中能够前 后相互抵消
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