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专题限时集训(二十)排列组合、二项式定理(对应学生用书第157页) 建议A、B组各用时:45分钟A组高考题、模拟题重组练一、排列、组合1如图201,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图201A24B18C12D9B从E到G需要分两步完成:先从E到F,再从F到G.从F到G的最短路径,只要考虑纵向路径即可,一旦纵向路径确定,横向路径即可确定,故从F到G的最短路径共有3条如图,从E到F的最短路径有两类:先从E到A,再从A到F,或先从E到B,再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同,所以从A到F,从B到F最短路径的条数都是3,所以从E到F的最短路径有336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为6318.2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A24B48 C60D72D第一步,先排个位,有C种选择;第二步,排前4位,有A种选择由分步乘法计数原理,知有CA72(个)3定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数若m4,则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个C由题意知:当m4时,“规范01数列”共含有8项,其中4项为0,4项为1,且必有a10,a81.不考虑限制条件“对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数”,则中间6个数的情况共有C20(种),其中存在k2m,a1,a2,ak中0的个数少于1的个数的情况有:若a2a31,则有C4(种);若a21,a30,则a41,a51,只有1种;若a20,则a3a4a51,只有1种综上,不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.4(2012浙江高考)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A60种B63种C65种D66种D满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有C5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取2个,有CC60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的取法共有560166(种)5某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现在从中任选3人,要求这三人不能是同一个班级的学生,且在三班至多选1人,不同的选取法的种数为() 【导学号:68334160】A484B472 C252D232B分两类,不选三班的同学,利用间接法,没有条件得选择3人,再排除3个同学来自同一班,有C3C208种;选三班的一位同学,剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人,有CC264种根据分类计数原理,得208264472,故选B.6下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4,10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为8克的方法总数的选项是() 【导学号:68334161】A(1x)(1x2)(1x3)(1x10)B(1x)(12x)(13x)(110x)C(1x)(12x2)(13x3)(110x10)D(1x)(1xx2)(1xx2x3)(1xx2x10)A从重量分别为1,2,3,4,10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为8克的方法是选一个,8克,一种方法,选两个,17,26,35,共3种方法,选三个,125,只有一种方法,其他不含1的三个的和至少是2348.四个以上的和都大于8,因此共有方法数为5.A中,x8的系数是1315(x8,xx7,x2x6,x3x5,xx2x5),B中,x8的系数大于12345678,C中,x8的系数大于8(8x8的系数就是8),D中,x8的系数大于C8(有四个括号里取x2,其余取1时系数为C)因此只有A是正确的,故选A.7(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有_种不同的选法(用数字作答)660法一:只有1名女生时,先选1名女生,有C种方法;再选3名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法由分步乘法计数原理,知共有CCA480(种)选法有2名女生时,再选2名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法由分步乘法计数原理,知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法法二:不考虑限制条件,共有AC种不同的选法,而没有女生的选法有AC种,故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)8(2014浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答)60把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有CA种分法,所以不同获奖情况种数为ACA243660.二、二项式定理9(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为()A10B20C30D60C法一:(x2xy)5(x2x)y5,含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二:(x2xy)5为5个x2xy之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC30.故选C.10(2014浙江高考)在(1x)6(1y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45B60C120D210C因为f(m,n)CC,所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.11已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5,则a()A4B3 C2D1D(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x,T3Cx210x2,x2的系数为105a5,a1,故选D.12已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5,则a4_,a5_.164由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4C12C22C13C216,a5是常数项,所以a5C13C224.13(2016全国乙卷)(2x)5的展开式中,x3的系数是_(用数字填写答案)10(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53,得r4.故x3的系数为254C2C10.14.5的展开式中x5的系数是80,则实数a_.2Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5,解得r2.又展开式中x5的系数为80,则有Ca380,解得a2.15(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1,得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1,得0a0a1a2a3a4a5.,得16(a1)2(a1a3a5)232,a3.16设二项式5的展开式中常数项为A,则A_.10Tr1C()5rrC(1)rx,令0,得r3,所以AC10.17已知对任意实数x,有(mx)(1x)6a0a1xa2x2a7x7,若a1a3a5a732,则m_. 【导学号:68334162】0设(1x)6b0b1xb2x2b6x6,则a1b0mb1,a3b2mb3,a5b4mb5,a7b6,所以a1a3a5a7(b0b2b4b6)m(b1b3b5),又由二项式定理知b0b2b4b6b1b3b5(11)632,所以3232m32,m0.B组“87”模拟题提速练一、选择题1某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是()A70B98C108D120B可分为两类:选A,B,C中的一门,其它7科中选两门,有CC63;不选A,B,C中的一门,其它7科中选三门,有C35;所以共有98种,故选B.2在4的二项展开式中,如果x3的系数为20,那么ab3()A20B15 C10D5DTr1C(ax6)4rrCa4rbrx247r,令247r3,得r3,则4ab320,ab35.3(2018杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中两个2元,两个3元(红包金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A36种B24种 C18种D9种C由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包,且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包,另2人抢到3元红包,则甲、乙两人都抢到红包的情况有CC18种,故选C.4七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙,丙两位同学要站在一起,则不同的排法有()A240种B192种 C120种D96种B不妨令乙丙在甲左侧,先排乙丙两人,有A种站法,再取一人站左侧有CA种站法,余下三人站右侧,有A种站法,考虑到乙丙在右侧的站法,故总的站法总数是2ACAA192,故选B.5某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()AAA种BA54种CCA种DC54种D有两个年级选择甲博物馆共
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