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数学思想专练(三)分类讨论思想题组1由概念、法则、公式引起的分类讨论1已知数列an的前n项和SnPn1(P是常数),则数列an是()A等差数列B等比数列C等差数列或等比数列 D以上都不对DSnPn1,a1P1,anSnSn1(P1)Pn1(n2)当P1且P0时,an是等比数列;当P1时,an是等差数列;当P0时,a11,an0(n2),此时an既不是等差数列也不是等比数列2(2017蚌埠模拟)已知函数f(x)log2(ax22x3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)k成立,则实数a的取值范围是() 【导学号:04024013】A. B.C3,) D(1,)B对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)k成立,f(x)值域为R,因此要求yax22x3的函数值能取到一切正数a0时,y2x3符合题意a0时,需即0a.综上,实数a的取值范围是.3已知函数f(x)的定义域为(,),f(x)为f(x)的导函数,函数yf(x)的图象如图1所示,且f(2)1,f(3)1,则不等式f(x26)1的解集为()图1A(3,2)(2,3)B(,)C(2,3)D(,)(,)A由导函数图象知,当x0时,f(x)0,即f(x)在(,0)上为增函数,当x0时,f(x)0,即f(x)在(0,)上为减函数,又不等式f(x26)1等价于f(x26)f(2)或f(x26)f(3),故2x260或0x263,解得x(3,2)(2,3)4已知实数m是2,8的等比中项,则曲线x21的离心率为() 【导学号:04024014】A.B C.D或D由题意可知,m22816,m4.(1)当m4时,曲线为双曲线x21.此时离心率e.(2)当m4时,曲线为椭圆x21.此时离心率e.5在ABC中,已知sin A,cos B,则cos C_.0cos B,且B为ABC的一个内角,45B90,sin B,若A为锐角,由sin A,得A30,此时cos A,若A为钝角,由sin A,得A150,此时AB180,这与三角形的内角和为180相矛盾,A150,cos Ccos(AB)cos(AB)(cos Acos Bsin Asin B).6若x0且x1,则函数ylg xlogx10的值域为_. 【导学号:04024015】(,22,)当x1时,ylg x22,当且仅当lg x1,即x10时等号成立;当0x1时,ylg x22,当且仅当lg x,即x时等号成立y(,22,)题组2由参数变化引起的分类讨论7已知集合Ax|1x5,Cx|axa3若CAC,则a的取值范围为()A. B.C(,1 D.C因为CAC,所以CA.当C时,满足CA,此时aa3,得a;当C时,要使CA,则解得a1.由得a1.8(2016保定模拟)已知不等式组,所表示的平面区域为D,若直线ykx3与平面区域D有公共点,则k的取值范围为() 【导学号:04024016】A3,3B.C(,33,)D.C满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示ykx3过定点(0,3),当ykx3过点C(1,0)时,k3;当ykx3过点B(1,0)时,k3.k3或k3时,直线ykx3与平面区域D有公共点,故选C.9已知函数f(x)(a1)ln xax21,试讨论函数f(x)的单调性解由题意知f(x)的定义域为(0,),1分f(x)2ax2分当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增4分当a1时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递减6分当1a0;当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递增,在上单调递减10分综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增;当a1时,f(x)在(0,)上单调递减;当1a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减12分题组3根据图形位置或形状分类讨论10已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为()A.B C.或D或C若双曲线的焦点在x轴上,则,e;若双曲线的焦点在y轴上,则,e,故选C.11正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为_. 【导学号:04024017】4或若侧面矩形的长为6,宽为4,则VS底h22sin 6044.若侧面矩形的长为4,宽为6,则VS底hsin 606.12已知中心在原点O,左焦点为F1(1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为|OB|.图2(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1的方程为:1(mn0),椭圆C2的方程为:(0,且1),则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆如图2,已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0),直线AB的方程为1,F1(1,0)到直线AB的距离db,2分a2b27(a1)2,又b2a21,解得a2,b,3分故椭圆C的方程为14分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为1,5分若切线l垂直于x轴,则其方程为x2,易求得|MN|26分若切线l不垂直于x轴,可设其方程ykxb,将ykxb代入椭圆C的方程,得(34k2)x28kbx4b2120,7分(8kb)24(34k2)(4b212)48(4k23b2)0,即b24k23,(*)8分记M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)将ykxb代入椭圆C2的方程,得(34k2)x28kbx4b2360,9分此时x1x2,x1x2,|x1x2|,10分|MN|42.34k23,11,即224.综合得:弦长|MN|的取值范围为2,412分
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