第七章 不等式、推理与证明,7.1 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题,知识梳理,考点自测,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应 边界直线,则把边界直线画成 . (2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.,平面区域,不包括,包括,实线,相同,符号,知识梳理,考点自测,2.线性规划的相关概念,线性约束条件,可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,知识梳理,考点自测,1.二元一次不等式表示的平面区域,知识梳理,考点自测,2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0的两侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0. 3.常见目标函数的几何意义 (3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)间的距离的平方.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)不等式x-y-10表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.( ) (2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) (5)在目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( ),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,考点1,考点2,考点3,答案: (1)C (2)D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域? 解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法: (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域. (2)当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( ) A.-5 B.1 C.2 D.3 (2)如图阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组表示为 .,考点1,考点2,考点3,其面积为2,|AC|=4,点C的坐标为(1,4), 代入ax-y+1=0,解得a=3,故选D. (2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0. 把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+20, 把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-10,考点1,考点2,考点3,考向1 求线性目标函数的最值 例2(2017全国,理14)设x,y满足约束条件 则z=3x-2y的最小值为 思考怎样利用可行域求线性目标函数的最值?,答案: -5,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考向2 已知目标函数的最值求参数的取值 例3设x,y满足不等式组 若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为( ) A.-1,2 B.-2,1 C.-3,-2 D.-3,1 思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围?,答案: B,考点1,考点2,考点3,解析:由z=ax+y得y=-ax+z,如图,作出不等式组对应的平面区域(阴影部分),则A(1,1),B(2,4).,由题意与图可知,直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,过点A时,取得最小值为a+1, 若a=0,则y=z,此时满足条件, 若a0,k=-a0,则目标函数的斜率满足-akAC=2,即-2a0.综上,-2a1.,考点1,考点2,考点3,答案: (1)C (2)3,考点1,考点2,考点3,解析: (1)如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当点P与点A重合时,取得最大值. 所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考向4 最优解不唯一的条件下求参数的值 例5已知x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值. 3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,解析: (1)画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.,考点1,考点2,考点3,(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).则A(2,0),B(1,1), 若z=ax+y过点A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2, 此时,目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z, 平移直线y=-2x+z,当直线经过点A(2,0)时,截 距最大,此时z最大为4,满足条件. 若z=ax+y过点B时取得最大值为4,则a+1=4, 解得a=3, 此时,目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z, 平移直线y=-3x+z,当直线经过点A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件, 故a=2,故选B.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,例6电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.,考点1,考点2,考点3,(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?,答案:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面 区域为图1中的阴影部分:,图1,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考利用线性规划求解实际问题的一般步骤是什么? 解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤 (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据; (2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量; (3)根据问题的特点,写出约束条件; (4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.,考点1,考点2,考点3,对点训练3某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.,答案:216 000,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.,考点1,考点2,考点3,1.确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.,