第五章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置,5-1 直线与平面平行 两平面平行,5-2 直线与平面的交点 两平面的交线,5-3 直线与平面垂直 两平面垂直,本章重点讨论的三个问题： 1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。 2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。 3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。,返回,5-1 直线与平面平行 两平 面平行,一、直线与平面平行,二、两平面平行,返回,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,返回,例题1,例题2,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,（直线AB不平行于定平面 ）,返回,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,返回,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,返回,例题2,例题3,例题1,例题1 试判断平面ABC是否平行于定平面,返回,例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,返回,例题3 试判断两平面是否平行。,返回,5-2 直线与平面的交点 两平 面的交线,三、直线与特殊位置平面相交,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,一、直线与平面相交只有一个交点,五、直线与一般位置平面相交,六、两个一般位置平面相交,二、两平 面的交线是直线,返回,一、直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,返回,二、平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有,返回,三、直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。,返回,判别可见性,判断直线的可见性,返回,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,返回,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,判别可见性,判断平面的可见性,返回,五、直线与一般位置平面相交,返回,例题1,判别可见性,1,2,例题1 求直线EF与一般位置平面ABC的交点K。,QV,步骤： 1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ABC的交线。 3、求交线与EF的交点K。,见示意图,返回,过MN作Q平面垂直于V投影面,返回,直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。,判别可见性的原理是利用重影点。,返回,例题2,例题2 直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。,1,判别可见性的原理是利用重影点。,2,4,3,( ),（ ）,返回,例题1,例题2,两一般位置平面相交求交线的方法,六、两一般位置平面相交,返回,两一般位置平面相交求交线的方法,用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。,返回,两一般位置平面相交，求交线步骤： 用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。,例题1 求两平面的交线,判别可见性,返回,2,1,( ),3,4,( ),判别可见性的原理是利用重影点。,判别可见性,返回,例题2 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,解题步骤1,返回,例题2 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,PV,1,2,解题步骤2,返回,例题2 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,解题步骤： 1、 过点K作平面KEF/ ABC平面。 2、过直线EF作正垂平面P。 3、求平面P与平面KEF的交线。 4、求交线 与EF的交点H。 5、连接KH，KH即为所求。,返回,5-3 直线与平面垂直 两平面垂直,一、直线与平面垂直,二、两平面垂直,返回,概念,例题1,例题2,例题3,概念1,例题1,例题2,概念2,一、直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,返回,定理1,定理2,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,返回,定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,返回,例题1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,返回,例题2：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。,返回,例题 3 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 ，与H面的夹角为45 。,|YM-N|,|ZM-N|,m,m n,m,mn,解题思路,返回,返回,返回,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,返回,返回,解题步骤,返回,返回,