1,工程力学 Engineering Mechanics,2,第五章 弯曲内力,3,弯曲内力,51 平面弯曲的概念及实例,一、弯曲的概念,1. 弯曲(bending): 杆受垂直于轴线的外力（即横向力）或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁(beam)：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,4,3. 工程实例,弯曲内力,5,车削工件,火车轮轴,弯曲内力,6,4. 平面弯曲:,具有纵向对称面: 横截面的对称面与轴线（直线）所在的平面,受力特点：外力都作用在此面内,变形特点：轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。,在轴线所在的平面内（直梁）（纵向对称面）受到横向力或力偶的作用。,弯曲内力,7,8,弯曲内力,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,一. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,52 梁的的常见支架与反力,9,弯曲内力,二、 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,集中力：力作用于某一微小的梁段上。（N,KN).,集中力偶：往往是力系简化的结果,分布载荷：分为线分布和面分布,10,弯曲内力,固定铰支座 2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,三. 常见支座,11,固定端 3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,弯曲内力,12,弯曲内力,四. 梁的三种基本形式,简支梁 (simple beam),悬臂梁 (cantilever beam),外伸梁(overhanging beam),13,弯曲内力,五. 静定梁与超静定梁,静定梁(statically determinate beam)：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。 超静定梁(statically indeterminate beam) ：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。,14,53 梁的内力：剪力与弯矩,一、弯曲内力：,弯曲内力,举例 已知：如图，P，a l。 求：距A端x处截面上内力。,解：求外力,15,弯曲内力,求内力截面法,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,C,C,1. 剪力(shear force)：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,16,弯曲内力,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；使梁变成上凸形的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯矩为正弯矩；使梁上侧受拉的弯矩为负弯矩。,2. 弯矩(bending moment)：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,17,例：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,二、例题,弯曲内力,18,2-2截面处截取的分离体如图（c）,q,弯曲内力,图（a）,19,弯曲内力,1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。,2. 剪力图和弯矩图：,5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,20,弯曲内力,例 求下列各图示梁的内力方程并画力图。,解：求支反力,写出内力方程,L,根据方程画内力图,21,例图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,22,例 图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy - M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,23,例简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,24,弯曲内力,一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,5-5 弯矩M、剪力Q与集度q之间的关系及应用,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,25,弯曲内力,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,26,载荷集度、剪力和弯矩关系：,q0，Q =常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,2. q常数，Q(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Q=0处，此处弯矩图的斜率为零，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变。,二、剪力、弯矩与外力间的关系,弯曲内力,27,弯曲内力,28,三、微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法,(1) 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。,(2) 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。,(3) 建立Q一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,(4) 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,弯曲内力,29,例 简支梁受力的大小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,弯曲内力,30,3建立坐标系 建立 Qx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 Q x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,弯曲内力,31,例 作图示梁的剪力图和弯矩图。,q,A,B,C,l/2,l,解,1.求支座反力,MB(F)=0,MA(F)=0,2.建立坐标系、分区段:AC 、CB,3.逐段绘图线,AC段：无荷载，剪力图为水平线弯矩图为斜直线,M,ql/8,ql2/16,9ql2/128,CB段：剪力图为斜直线线,弯矩图为向正方向上凸的抛物线,3ql/8,4. 标值、单位、正负号、纵标线,（剪力图）,（弯矩图）,弯曲内力,32,例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q-M图。,解： 1、求支反力,2、判断各段Q、M图形状： CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。 AD段：q0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。,3、先确定各分段点的Q 、M值，用相应形状的线条连接。,弯曲内力,33,纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。 若梁受横向载荷作用，截面既有弯矩又有剪力，则产生的弯曲称为横向弯曲，简称横弯。,弯曲应力,5-6 纯弯曲时的正应力,34,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向线；纵向线变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一纵向线长度不变。,（一）变形几何规律：,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲应力,35,:横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,3:推论,弯曲应力,2:两个概念, 中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线；,:各纵向纤维之间无挤压,36,4. 几何方程：,弯曲应力,几何方程表明：纯弯时梁横截面上各点的纵向正应变沿截面高度线性分布；中性轴处正应变为零；中性轴两侧分别为拉应变和压应变；距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。,37,二、物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。,弯曲应力,物理方程表明：纯弯时梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布；在中性轴处正应力为零；在距中性轴最远的截面边缘，分别受有最大拉应力与最大压应力；截面上同一高度的各点正应力相同。,38,三、静力学关系：,弯曲应力,由于：横截面只有一个内力分量Mz 对y轴的弯矩My=0；轴力Nx=0,Sz 称为整个横截面对中性轴的静矩；静矩是对于一定轴而言的，同一截面对于不同轴的静矩不同。 静矩量纲为：长度3,39,弯曲应力,弯曲变形公式,40,弯曲应力,其中： M：梁横截面上的弯矩； Iz：梁的整个横截面对于中性轴(z)的惯性矩； y: 所求应力点到中性轴的垂直距离，即该点的y坐标，中性轴通过截面形心，垂直于加载面。,梁在纯弯曲时横截面上任意一点正应力公式,y,41,最大正应力：,弯曲应力,42,常见截面的 IZ 和 WZ,弯曲应力,43,横力弯曲(横弯)：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有剪应力。,四、 纯弯曲理论的推广,弯曲应力,对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。,梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。,44,5-7 梁横截面上的切应力,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力 相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,在微段上取一块如图c，平衡,45,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,横力弯曲时,横截面上切应力的计算公式.,46,弯曲应力,z,y,Sz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.,式中: Q-所求切应力面上的剪力.,IZ-整个截面对中性轴的惯性矩.,Sz*-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.,b-所求应力点处截面宽度.,y,A*,yc*,47,弯曲应力,t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的切应力,研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下部分面积对中性轴之静矩；,48,5-8 梁的正应力和剪应力强度条件 提高梁强度的主要措施,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和剪应力强度条件,49,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。,50,4、需要校核剪