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结构力学,STRUCTURAL MECHANICS,Chap6 位移法,6-1 概述6-2 等截面杆件的转角位移方程6-3 位移法计算方法直接平衡法6-4 位移法计算举例6-5 位移法的基本体系6-6 对称结构的计算6-7 支座移动与温度改变时的计算,6-1 概述,位移法基本概念,位移法基本思想。,位移法也称变位法或刚度法,是另一种求解超静定结构的方法,以结点位移作为基本未知量,该方法不仅可用于超静定结构的求解,还可用于静定结构的求解。同时,位移法也为后续章节的学习奠定了基础。,1、基本概念,作为基本未知量,2、基本思路,位移法解题是一个拆、合的过程,即先把原结构“拆”成若干个单跨超静定梁,计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力,然后再把这些单跨梁“合”成原结构,利用平衡条件求出,这就是位移法的整体思路。,2、基本思路,力法:,力法:,力法:,力法,由于结点B为刚结点,有:从而可求出: 将转角 代入中 ,即可得到杆BA、BC的弯矩图,将其组在一起即为原结构的弯矩图。,2、基本思路,3、位移法仍需解决问题,确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的关系;结构上何种结点位移可作为基本未知量;如何建立求解未知量的位移法方程。,6-2 等截面杆件的转角位移方程,转角位移方程,杆端力和杆端位移的正方向规定,1、转角位移方程定义,用位移法求解超静定结构时,每根杆件均可看作单跨超静定梁,杆件的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系,可用函数进行表达,这种函数表达式称之为转角位移方程,也称为刚度方程。,2、 杆端力和杆端位移符号规定,杆端转角 顺时针为正,杆两端相对线位移 ,以使杆件产生顺时针转动为正;杆端弯矩以顺时针方向为正,杆端剪力的规定仍是以使作用截面产生顺时针转动为正。,3、由杆端位移求杆端力,(1)两端为固定端梁,根据力法, 对梁的弯矩无影响,故在计算时可不予考虑,很显然 。,3、由杆端位移求杆端力,显然,图6.2(b)等于图6.3(a) 、(b)两种情况的叠加,则:,3、由杆端位移求杆端力,求杆端弯矩 作用下杆端转角 和 。,采用力法,作出图6.3(a) 的 图、 图和 图,如图6.4 。,3、由杆端位移求杆端力,由图6.4的(a) 、(b)图,图乘可得: 令 ,i称为杆AB的线刚度,则上式整理为: 同理:6.4的(a) 、(c)图,利用图乘法得:,3、由杆端位移求杆端力,求当杆两端有相对位移时杆端转角 和 。,由图6.3(b) 可得:,由 和计算结果,根据叠加原理,杆端转角 和 为:,整理为:,式(6-2)即为已知杆端位移 、 和 求杆端弯矩的公式,又称为AB梁的转角位移方程。,(6-2),(6-1),3、由杆端位移求杆端力,取杆件为研究对象,由平衡条件可以求出杆端剪力为:,由(6-2) 和(6-3)计算结果,杆端力可写为矩阵形式:,式(6-4)称为弯曲杆件的刚度方程;,(6-3),(6-4),3、由杆端位移求杆端力,其中:,称为弯曲杆件的刚度矩阵,矩阵中的系数称为刚度系数。刚度系数是只与杆件的截面形状尺寸和材料性质有关的常数,所以又称为形常数。,3、由杆端位移求杆端力,(2)一端固定一端铰支梁,由上图(a),可知,代入式(6-1)可得:,3、由杆端位移求杆端力,(3)一端固定一端定向支座梁,由上图(b),可知,代入式(6-2)和(6-3)可得:,3、由荷载求杆端力,杆件只承受荷载作用时所得的杆端力,通常称为固端力,一般包括固端弯矩和固端剪力。固端力的求解仍然可以采用力法,在表6-1中列出了常见荷载作用下的固端力。从表6-1中可以看出,固端力的大小只与杆件所承受的荷载形式有关,因而,固端力也称为载常数,一般用 表示为:,4、小结,综上所述,等截面直杆在荷载及杆端位移的共同作用下,利用叠加原理,杆端力一般公式为:,(6-5),式(6-5)即为转角位移方程的一般形式。,6-3 位移法计算方法 -直接平衡法,基本未知量的确定,位移法基本方程,1、基本未知量,用位移法求解超静定结构时,它是以独立的结点位移作为基本未知量,其中结点位移包括结点角位移和结点线位移。,1、基本未知量,(1)结点角位移的确定 结点角位移的数目刚结点的数目 2个刚结点B、C,故有2个结点角位移 和 。,1、基本未知量,(2)结点线位移的确定 假设: 忽略轴向力产生的轴向变形,则变形后的曲杆与原直杆等长; 假设结点转角和各杆弦转角都很小,则变形后的曲杆长度与其弦等长。 根据假设,杆件发生弯曲变形后,两个端点距离保持不变或者杆长保持不变,从而就减少了结点线位移的数目。,1、基本未知量,简单结构,采用观察法。 没有结点线位移,1、基本未知量,复杂结构,采用铰化体系法。具体做法是: 把结构中所有的刚结点、固定端全部改成铰结,则得到铰结体系; 对铰结体系进行几何组成分析,若体系几何不变,则无结点线位移;若几何可变或瞬变,则需考虑最少添加几根支座链杆才能保证几何不变,需增加的链杆数即为原结构的结点线位移数。注意:原结构的链杆支座、铰支座、及两平行链杆与杆轴平行的滑动支座不予改变,而两平行链杆与杆轴垂直(或斜交)的滑动支座,只保留一根链杆。此种方法适用于不计轴向变形的受弯直杆结构。,1、基本未知量,图6.7(a)所示刚架,其铰结体系如图6.7(b)所示,必须在B、E结点各增加一根链杆才能成为几何不变体系,所以原结构独立结点线位移的数目为2个。,2、直接平衡法,设梁柱的线刚度均为i,图6.8(a)所示刚架,基本未知量为3个,分别为C、D结点的角位移 ,和柱顶的水平线位移 ,图6.8(b)所示。,2、直接平衡法,根据转角位移方程(6-5),我们可以得到:,2、直接平衡法,如图6.9(a)所示,选取刚结点C为研究对象,建立平衡方程: 代入整理为:同理,选取刚结点D为研究对象,可得:,:,(a),(b),2、直接平衡法,如图6.9(b) ,选取柱顶以上横梁CD为研究对象,建立平衡方程: 代入整理为: 其中 和 可以通过查表6-1得到,联立方程(a) 、(b) 、(c),即可解出基本未知量1、2、3,将其代入转角位移方程,可求得杆端弯矩,从而绘制结构的弯矩图,进而绘制剪力图和轴力图。,:,(c),3、小结,利用位移法求解超静定结构,建立的方程实质上是静力平衡方程。根据转角位移方程,写出各杆件的杆端力表达式,对于结点角位移,建立结点的力矩平衡方程;对于结点线位移,建立截面的投影平衡方程。这些方程称为位移法的基本方程,基本方程的个数等于基本未知量的个数。而这种根据转角位移方程列出位移法基本方程的方法称为直接平衡方程法。,6-4 位移法计算举例,解题步骤可概括如下:(1)确定位移法的基本未知量。(2)根据转角位移方程列出杆端力表达式。(3)根据平衡条件列位移法基本方程。对于每个角位移结点,建立结点的力矩平衡方程: ;对于结点线位移,建立截面的投影平衡方程: 或者 。(4)联立解方程,求结点位移。(5)将结点位移代入杆端力表达式,求出杆端力。(6)作内力图。根据杆端弯矩作弯矩图;选取杆件为研究对象,建立平衡方程,求出杆端剪力,从而绘制剪力图;选取结点为研究对象,建立平衡方程,求出杆端轴力,从而绘制轴力图。,例题6-1 试求下图所示连续梁的弯矩图。,其中: ,q=20 kN /m,P=60kN。【解】:(1)确定位移法的基本未知量。 此连续梁只有一个基本未知量,结点B的角位移 。(2)根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩,查表6-1得:,例题6-1,令 ,则:根据转角位移方程:(3)根据平衡条件列位移法基本方程。,(4)解方程,求结点位移。,解得:,(5)将结点位移代入杆端弯矩表达式,求出杆端弯矩 。,例题6-1,(6)根据杆端力绘制内力图 。,例题6-2 试求下图所示刚架的弯矩图。,【解】:(1)确定位移法的基本未知量。有2个基本未知量,结点B、C的角位移1、2。(2)根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩,查表6-1得: 根据转角位移方程:,例题6-2,(3)根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点B,对于结点C,(4)式子(1)(2)联立解方程,求结点位移。 解得:,(1),(2),例题6-2,(5)将结点位移代入杆端弯矩表达式,求出杆端弯矩并绘制弯矩图 。,弯矩图,例题6-3 试求下图所示刚架的弯矩图。,其中:各杆杆长、EI均相同,q=20kN/m,P=30kN。 。【解】:(1)确定位移法的基本未知量。有2个基本未知量,结点C的角位移1和柱顶的水平线位移2。(2)根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩,查表6-1得: 令 ,根据转角位移方程:,例题6-3,(3)根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点C,取柱顶以上横梁BC为研究对象,如下图所示:选取柱AB为研究对象,如下图所示:,(1),(2),例题6-3,选取柱CD为研究对象,如下图所示:结果代入(2)式,整理得:(4)式子(1)(3)联立解方程,求结点位移。解得:(5)将结点位移代入杆端弯矩表达式,求出杆端弯矩 。,(3),例题6-3,(6)根据杆端力绘制弯矩图 。,例题6-3,(7)根据弯矩图绘制剪力图和轴力图。 根据杆端弯矩,选取杆件为研究对象,应用静力平衡条件,建立平衡方程可以求出杆端剪力,然后作剪力图。,例题6-3,根据以上求的杆端剪力,绘制剪力图。,例题6-3,根据求出的杆端弯矩和剪力,选取结点为研究对象,应用静力平衡条件,建立平衡方程可以求出杆端轴力,从而绘制轴力图。,根据以上求的杆端轴力,绘制轴力图。,6-5 位移法的基本体系,典型方程,位移法的基本体系,通过基本体系建立位移法典型方程,从而对超静定结构求解,称为典型方程法。,1、基本体系,通过在结点上添加附加约束,原结构就变成了一组单跨超静定梁组成的组合体。添加 “附加刚臂”阻止刚结点转动但不能阻止结点移动;在可能发生线位移的结点,加上“附加链杆”用来阻止结点线位移同时不阻止结点的转动。附加刚臂用符号“ ”表示,附加链杆用符号“ ”表示。,
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