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,第一章 轴向拉伸和压缩,材料力学,11 轴向拉压的概念及实例12 内力、截面法、轴力及轴力图13 截面上的应力及强度条件,第一章 轴向拉伸和压缩(Axial Tension),1-4 拉压杆的变形 弹性定律,1-5 拉压杆的弹性应变能,1-6 拉压超静定问题及其处理方法,1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能,拉压,11 轴向拉压的概念及实例,轴向拉压的外力特点:外力的合力作用线与杆的轴线重合。,一、概念,轴向拉压的变形特点:杆的变形主要是轴向伸缩,伴随横向 缩扩。,轴向拉伸:杆的变形是轴向伸长,横向缩短。,轴向压缩:杆的变形是轴向缩短,横向变粗。,拉压,轴向压缩,对应的力称为压力。,轴向拉伸,对应的力称为拉力。,力学模型如图,拉压,拉压,拉压,一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成(附加内力)。,12 内力 截面法 轴力及轴力图,拉压,二、截面法 轴力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1. 截面法的基本步骤: 截开:在所求内力的截面处,假想地用截面将杆件一分为二。代替:任取一部分,其弃去部分对留下部分的作用,用作用 在截开面上相应的内力(力或力偶)代替。平衡:对留下的部分建立平衡方程,根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力(此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力)。,拉压,2. 轴力轴向拉压杆的内力,用N 表示。,例如: 截面法求N。,截开:,代替:,平衡:,反映出轴力与截面位置变化关系,较直观;确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置,即确定危险截面位置,为强度计算提供依据。,拉压,三、 轴力图 N (x) 的图象表示。,3. 轴力的正负规定:,N 与外法线同向,为正轴力(拉力),N与外法线反向,为负轴力(压力),N,x,P,意义,拉压,例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力,方向如图,试画出杆的轴力图。,解: 求OA段内力N1:设置截面如图,拉压,同理,求得AB、BC、CD段内力分别为:,N2= 3PN3= 5PN4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,拉压,轴力(图)的简便求法: 自左向右:,轴力图的特点:突变值 = 集中载荷,遇到向左的P, 轴力N 增量为正;遇到向右的P , 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,拉压,解:x 坐标向右为正,坐标原点在 自由端。取左侧x 段为对象,内力N(x)为:,q,q L,x,O,例2 图示杆长为L,受分布力 q = kx 作用,方向如图,试画出 杆的轴力图。,L,q(x),q(x),N,x,O,拉压,一、应力的概念,13 截面上的应力及强度条件,问题提出:,1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度:内力在截面分布集度应力; 材料承受荷载的能力。,1. 定义:由外力引起的内力集度。,拉压,工程构件,大多数情形下,内力并非均匀分布,集度的定义不仅准确而且重要,因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,平均应力:,全应力(总应力):,2. 应力的表示:,拉压,全应力分解为:,拉压,变形前,1. 变形规律试验及平面假设:,平面假设:原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。,受载后,二、拉(压)杆横截面上的应力,拉压,均匀材料、均匀变形,内力当然均匀分布。,2. 拉伸应力:,轴力引起的正应力 : 在横截面上均布。,危险截面:内力最大的面,截面尺寸最小的面。危险点:应力最大的点。,3. 危险截面及最大工作应力:,拉压,直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。,4. 公式的应用条件:,6. 应力集中(Stress Concentration):,在截面尺寸突变处,应力急剧变大。,5. Saint-Venant原理:,离开载荷作用处一定距离,应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,拉压,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线,红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图:,应力分布示意图:,拉压,7. 强度设计准则(Strength Design):,其中:-许用应力, max-危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸:,依强度准则可进行三种强度计算:,保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。,校核强度:,许可载荷:,拉压,例3 已知一圆杆受拉力P =25 k N,直径 d =14mm,许用应力 =170MPa,试校核此杆是否满足强度要求。,解: 轴力:N = P =25kN,应力:,强度校核:,结论:此杆满足强度要求,能够正常工作。,拉压,例4 已知三铰屋架如图,承受竖向均布载荷,载荷的分布集度为:q =4.2kN/m,屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm,许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。,钢拉杆,4.2m,拉压,钢拉杆,8.5m,q,4.2m,RA,RB,HA,拉压,应力:,强度校核与结论:,此杆满足强度要求,是安全的。, 局部平衡求 轴力:,q,RA,HA,RC,HC,N,拉压,例5 简易起重机构如图,AC为刚性梁,吊车与吊起重物总重为P,为使 BD杆最轻,角 应为何值? 已知 BD 杆的许用应力为。,分析:,x,L,h,q,P,A,B,C,D,拉压, BD杆面积A:,解: BD杆内力N(q ): 取AC为研究对象,如图,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C,拉压,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C, 求VBD 的最小值:,拉压,三、拉(压)杆斜截面上的应力,设有一等直杆受拉力P作用。求:斜截面k-k上的应力。,解:采用截面法由平衡方程:Pa=P,则:,Aa:斜截面面积;Pa:斜截面上内力。,由几何关系:,代入上式,得:,斜截面上全应力:,拉压,斜截面上全应力:,Pa,分解:,反映:通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当 = 90时,,当 = 0,90时,,2、单元体:单元体构件内的点的代表物,是包围被研究点的 无限小的几何体,常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上,应力均布; b、平行面上,应力相等。,3、拉压杆内一点M 的应力单元体:,1.一点的应力状态:过一点有无数的截面,这一点的各个截面 上的应力情况,称为这点的应力状态。,补充:,拉压,取分离体如图3, a 逆时针为正; t a 绕研究对象顺时针转为正;由分离体平衡得:,拉压,4、拉压杆斜截面上的应力,例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用,试求最大剪应力,并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,解:拉压杆斜截面上的应力,直接由公式求之:,拉压,例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P,设胶合面的许用拉应力为=100MPa ;许用剪应力为=50MPa ,并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm,试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定: 在060度之间)。,联立(1)、(2)得:,拉压,解:,B,(1)、(2)式的曲线如图(2),显然,B点左 侧由剪应力控制杆的强度,B点右侧由正应力控制杆的强度,当a=60时,由(2)式得,解(1)、(2)曲线交点处:,拉压,讨论:若,B1,1、杆的纵向总变形:,3、平均线应变:,2、线应变:单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,14 拉压杆的变形 弹性定律,拉压,4、x点处的纵向线应变:,6、x点处的横向线应变:,5、杆的横向变形:,拉压,L1,二、拉压杆的弹性定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,拉压,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比(或横向变形系数),拉压,三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的,所以通常叫做胡克定律。其实,在胡克之前1500年,我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力,有三均”作了 这样的注释:“假令弓力胜三石,引之中三尺,弛其弦,以绳缓擐之,每加物一石,则张一尺。” (图),拉压,拉压,1、怎样画小变形放大图?,变形图严格画法,图中弧线;,求各杆的变形量Li ,如图;,变形图近似画法,图中弧之切线。,例6 小变形放大图与位移的求法。,拉压,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,拉压,解:变形图如图2, B点位移至B点,由图知:,例7 设横梁ABCD为刚梁,横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN,试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,解:方法1:小变形放大图法 1)求钢索内力:以ABCD为对象,2) 钢索的应力和伸长分别为:,拉压,D,拉压,D,3)变形图如左图 , C点的垂直位移为:,15 拉压杆的弹性应变能,一、弹性应变能:杆件发生弹性变形,外力功转变为变形能贮存 与杆内,这种能成为应变能(Strain Energy)用“U”表示。,二、 拉压杆的应变能计算: 不计能量损耗时,外力功等于应变能。,内力为分段常量时,拉压,三、 拉压杆的比能 u: 单位体积内的应变能。,拉压,解:方法2:能量法: (外力功等于变形能) (1)求钢索内力:以ABD为对象:,拉压,例7 设横梁ABCD为刚梁,横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN,试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,(2) 钢索的应力为:,(3) C点位移为:,拉压,能量法:利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题,这种方法称为能量法。,16 拉压超静定问题及其处理方法,1、超静定问题:单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 (外力、内力、应力)的问题。,一、超静定问题及其处理方法,拉压,2、超静定的处理方法:平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合,进行求解。,
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