,3-1 流体运动微分方程3-2 伯努利方程3-3 伯努利方程的应用3-4 积分形式动量方程,第三章 流体动力学(Fluid Dynamics),第三章 流体动力学 1,重点：伯努利方程及其应用、伯努利方程的几何意义和能量意义、动量定理,难点：动量定理,第三章 流体动力学 2,虽然实际流体都具有粘性，但是在很多情况下粘性力影响很小，可以忽略，所以讨论理想流体的运动规律不但具有指导意义，而且具有实际意义。,本章先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程，然后在特定的条件下积分可以得到伯努利方程，介绍其实际应用，最后推导出动量，并举例 同时在推导理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程时，也推导粘性流体动力学的基本方程N-S方程。,第三章 流体动力学 3,3-1 流体运动微分方程,理想流体的运动微分方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。,如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任取一微元六面体，其边长分别为dx、dy、dz。,一、理想流体的运动微分方程,第三章 流体动力学 4,平行六面体，顶点为 处的速度是 ，压强为 。六面体平均密度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量力。,以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。,第三章 流体动力学 5,左面：,故沿y方向表面力的合力是：,右面：,2. y方向的质量力 设作用在六面体上沿y轴的单位质量力为Y，则流体质量力在y方向的分力为 。,第三章 流体动力学 6,3. 推导运动微分方程 根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积。,故对y轴有：,又：,所以：,第三章 流体动力学 7,即为理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微分方程。,同理可得另外两个方向的运动微分方程，写在一起：,三式综合写成矢量形式：,此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定常流的理想流体均适用。,第三章 流体动力学 8,二、粘性流体的运动微分方程(N-S方程),建立直角坐标系和选微平行六面体模型,受力分析,顶点为A，边长为: dx、dy、dz,质量力: X、Y、Z,表面力:,x=0面: (顶点A),x=dx面:,第三章 流体动力学 9,同理可得其它面上表面力。,从图中，可以看出顶点A的应力张量为：,共有9个分量。切应力下标定义：第一个下标表示作用力所处表面的法线方向；第二个下标表示该作用力的方向。,表面力方向的确定：当力的作用面的法线方向与坐标轴正向一致时，力的方向为正；反之，为负。,第三章 流体动力学 10,可以证明，应力张量具有对称性：,实际上应力张量中只有六个分量是独立的。,建立运动方程,第三章 流体动力学 11,整理为应力形式的粘性流体运动微分方程：,式中未知函数:三个速度分量和六个应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，方程组不封闭。 补充应力与速度之间的关系：,a:广义牛顿内摩擦定律：,b:粘性流体中法向应力的表达式：,第三章 流体动力学 12,整理，得到方程,将补充的切向应力和法向应力关系式代入应力形式的运动方程，得：,这就是直角坐标系下的N-S方程。,矢量形式：,第三章 流体动力学 13,对于不可压缩流体：,矢量形式：,方程为非定常的偏微分方程，求解时应给定边界条件和初始条件。固体边界条件采用固体无滑移条件(与理想流体不同？)。,运动微分方程简化为：,第三章 流体动力学 14,运动微分方程的三个分量式中有四个未知数 、 、 和 ，再加上连续方程式共四个方程组，方程封闭，理论上可求解。当然还要满足所提问题的边界条件、初始条件，这一问题不是本课程的讨论范围。,但是对于复杂的流动很难得到问题的解析解，只有在一些特殊条件下，才能求出解析解，如欧拉运动微分方程的解伯努利方程。,第三章 流体动力学 15,3-2 伯努利方程,介绍伯努利(D.Bernouli 17001782)方程的推导和应用。,伯努利方程的推导：是欧拉方程对定常运动沿流线的积分。,第三章 流体动力学 16,伯努利方程的限制条件：,(1)理想流体；,(3)重力场中；,(4)定常流动；,(5)沿流线积分。,一、伯努利方程的推导,(2)不可压缩流体；,求解欧拉运动微分方程,第三章 流体动力学 17,推导过程主要将欧拉运动微分方程沿流线积分，再将积分号下的项变形为某个函数的全微分，得到积分方程。然后在质量力为重力的情况下，整理出要求的伯努利方程。,欧拉运动微分方程：,沿流线积分：,第三章 流体动力学 18,首先，定常流动，有：,其中dx、dy、dz为流线上的线元的分量。,以z方向为例：,X方向,y方向,z方向,等式左边：,第三章 流体动力学 19,即：,等式简化为：,将左边变形：,流线方程,第三章 流体动力学 20,等式右边变形：,同理可得：,所以等式变为：,X方向,y方向,z方向,等式左边：,第三章 流体动力学 21,三式相加：,整理：,即：,此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分，它表明：对于不可压缩理想流体，在有势质量力作用下作定常流时，在同一条流线上 值保持不变，该常数值称为伯努利积分常数。对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同。,第三章 流体动力学 22,通常写为：,或在流线上任意两点上成立：,上式即为理想流体定常、不可压缩、重力场中沿流线的伯努利方程。,当流动定常且无旋时，积分常数Cl适用用于整个流场。,1,2,第三章 流体动力学 23,：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。,二、伯努利方程的几何意义和物理意义,1. 几何意义,伯努利方程式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。,：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。 ：表示研究点处速度大小的高度,称速度水头。 ：称总水头。,第三章 流体动力学 24,：表示单位重量流体对某一基准具有的位置势能。 ：表示单位重量流体具有的压强势能。 ：表示单位重量流体具有的动能。,伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中三种形式的水头可互相转化，但位置水头、压力水头和速度水头之和为一常数，即总水头线为一条水平线 。,2. 能量意义,伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。Conservation of mechanical energy,第三章 流体动力学 25,