- 离散傅里叶级数 - 离散傅里叶变换的推导与定义 - 离散傅里叶变换的基本性质 - 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例,DFT的快速算法-FFT的出现， 使DFT在数字通信、 信号处理、 数值分析等各个领域都得到广泛应用。,1 用DFT计算线性卷积 如果,则由时域循环卷积定理有： Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照上图所示的计算框图在频域计算。 由于DFT具有快速算法（FFT），当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。,在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此须知线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,其中：LmaxN, M,对照式(1)可以看出， 上式中:,yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓的主值序列。,线性卷积与循环卷积,yl(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L N+M-1时， yl(n) 以L为周期进行周期延拓时才无混叠现象。 此时取其主值序列显然满足yc(n) yl(n) 。 由此：循环卷积等于线性卷积的条件是-L N+M-1,用DFT计算线性卷积框图,如果取LN+M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算框图如下图。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。,实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如MN。如选取L=M+N-1，以L为运算区间进行快速卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。 而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处理时，不能直接套用上述方法。 解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。 这里介绍重叠相加法。,设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则：,于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为：,其中：,该式说明，计算h(n)与x(n)的线性卷积时，可先进行分段线性卷积yk(n) ，然后把分段卷积结果叠加起来即可。,重叠相加法卷积示意图,每一分段卷积yk(n)的长度为N+M-1，因此yk(n)与yk+1(n) 有N-1个点重叠，必须把重叠的部分相加，才能得到完整的卷积序列y(n)。,由图可以看出，当第二个分段卷积y1(n)计算完后，叠加重叠点便可得输出序列y(n)的前2M个值，同样，分段卷积yi(n) 计算完后，就可得到y(n)第 i 段的M个序列值。,用DFT计算分段卷积yk(n)的方法如下： (1) i=0；L=NM1；计算并保存H(k)=DFTh(n)L; (2) 读入xk(n)=x(n)RM(nkM)，构造变换区间0，L1上的序列 ，实际中就是将xi(n)的M个值存放在长度为M的数组中, 并计算 (3) (4) ，n = 0,1,2,L1；,(5) 计算： (6) i =i1，返回(2)。 应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始条件y1(n)=0。,2 用DFT对信号进行谱分析 信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。,1. 用DFT对连续信号进行谱分析 连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(j)也是连续函数。 DFT对xa(t)进行频谱分析，先对xa(t)进行时域采样，得到x(n)=xa(nT)，再对x(n)进行DFT，得到X(k)，这里x(n)和X(k)均为有限长序列。 若信号持续时间有限长则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽则其持续时间无限长，所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。 从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。 因此，在下面分析中，假设 xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。,用DFT分析连续信号谱的原理示意图,连续信号的频谱，可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T近似得到,设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc，xa(t)的傅里叶变换为Xa(j)，对xa(t)进行时域采样得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ej)。,对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样 定理时，上述分析方法不丢失信息。 即可由Xa(k) 恢复Xa(jf) 或xa(t)，但直接由分析结果 Xa(k) 看不到Xa(jf) 的全部频谱特性，而只能看到N 个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。 如果xa(t)持续时间无限长，上述分析中要进行截断 处理，所以会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱 分析产生误差，即截断效应。,由假设条件可知: x(n)的长度,对模拟信号频谱的采样间隔的倒数，称之为频率分辨率，也叫谱分辨率,在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围)时，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足： fs2fc 而谱分辨率： F=fs/N 如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。 如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为NT=Tp，T=fs-1， 只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。 Tp和N可以按照下式进行选择:,例 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变， 要求谱分辨率提高一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 解：,DFT对连续信号分析时的参数选择原则 fc-信号最高截止频率 F-频(谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔） Fs -采样频率 Tp -信号记录时间 T -采样间隔 N-采样点数,用DFT进行谱分析的误差问题 (1) 混叠现象 (2) 栅栏效应 (3) 截断效应,(1). 频谱混叠,对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散， 如果采样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。 一般取Fs(35)fc。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。 解决办法: 预滤波 增大采样频率,(2). 栅栏效应,1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样 2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景,减轻栅栏效应（减小栅栏宽度）： 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点，使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据。,(3) 截断效应 实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n), 称为矩形窗函数。 根据傅里叶变换的频域卷积定理，有:,其中 对矩形窗数w(n)=RN(n)，有,例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其频谱为,Y(ej)与X (ej)相比有两方面的差别： （1）存在泄漏（谱的展宽）（2）谱间干扰（旁瓣引起）,比较截断前、后的幅度谱的差别： 谱线加宽，频谱泄露 定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱泄漏。 约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。 影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。 谱间干扰 出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣 影响：降低谱分辨率 泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。 减轻截断效应的方法- （1）适当加大窗口宽度； （2）采用适当形状的窗函数截断,思考：减轻了栅栏效应，是不是就提高了频率分辨率？,例 利用FFT对连续时间信号进行谱分析仅是一个近似的估计，现有一个FFT处理器，用来估算实数信号的频谱，要求指标：频率分辨率为F 5Hz；信号的最高频率fc 1.25kHz； FFT的点数N必须是2的整数次幂。试确定：(1)信号记录长度TP；(2)采样点间的时间间隔TS；(3)一个记录过程的点数N。,例 设模拟信号xa(t)cos(21000t+)，现在以时间间隔Ts=0.25ms进行均匀采样，假定从t0开始采样，共采N点。 (1)写出采样后序列x(n)的表达式和对应的数字频率。 (2) 若希望DFT的分辨率达到l Hz，应该采集多长时间的数据。,3 随机信号功率谱估计,对于确定性信号，傅里叶变换是进行频率分析研究的理论基础，但对于随机信号，其傅里叶变换不存在，因此研究它的功率谱。,在实际应用中，通常只能采集或观测到平稳随机过程的一个抽样序列的一段(有限个)数据，如果根据这有限个已知数据来估计随机过程的功率谱的问题，简称谱估计(谱分析)问题。,谱估计方法,经典谱估计，也称为线性谱估计,现代谱估计，也称为非线性谱估计,经典谱估计,BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。,周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方，除以N得到功率谱。,经典谱估计致命的缺点是频率分辨率低，原因是傅里叶变换域是无限大，而观测数据是有限长，观测不到的数据被认为是0。这相当于将信号在时域加了矩形窗，在频域使真正的功率谱卷积一个sinc函数。,现代谱估计,如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可以计算出来。谱估计问题变成了由观测数据估计信号模型参数的问题。 模型种类很多，如AR模型、MA模型等。 合适地选择模型，功率谱估计质量比经典谱估计的估计质量有很大提高。,参数模型法以信号模型为基础。,参数模型法：AR、MA、ARMA模型,非参数模型法：Pisarenko、MUSIC、ESPRIT法,