1,无穷级数,三、幂级数和函数的求法,一、数项级数及其审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,五、函数的傅里叶级数展开法,四、函数的幂级数展开法,2,为傅立叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,3,一、数项级数及其审敛法,(一)常数项级数的概念,1.常数项级数的概念；,2.常数项级数收敛与发散的概念；,3.正项级数、交错级数、任意项级数的概念；,4.绝对收敛与条件收敛的概念；,常数项级数收敛(发散),存在(不存在),4,(二)常数项级数的性质（4个）,性质1.,性质2.,在级数前面加上（或去掉）有限项不影响,性质3.,级数的敛散性, 但影响收敛级数的和.,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和.,收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散,5,(三)收敛级数的必要条件,(四)应熟记的几个重要级数：,1.几何级数,2.调和级数,是发散级数.,3.P-级数,6,(五)常数项级数的审敛法：,1.任意项级数的审敛法,(3)性质法.,(4)利用重要级数.,(1)定义法：,(5),级数收敛(发散),存在(不存在).,7,2.正项级数的审敛法,(2)比值法,(1)比较法,(3)根值法,(常数 k 0 )；,3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法),(i),(ii),8,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不确定,比较审敛法,用其它法判别,性质法,定义法,正项级数审敛程序：,9,解: (1),故原级数发散 .,另解: (1),发散 ,故原级数发散 .,例1.判别级数的敛散性:,10,解(2),发散 ,故原级数发散 .,故该级数收敛.,解(3),11,例2.判别下列级数,的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛？,解(1),所以原级数发散.,解(2),1)先考察 的敛散性,12,又由于,原级数收敛，是条件收敛.,13,设正项级数,收敛,证明,收敛 .,例3.,证明:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不一定成立.,例如,收敛 ,发散 .,14,证明：,练习题,15,1. 03数三，4分设,则下列命题正确的是( ),条件收敛，则,绝对收敛，则,条件收敛，则,敛散性都不定.,绝对收敛，则,(A) 若,(B) 若,(C) 若,(D) 若,都收敛.,都收敛.,敛散性都不定.,几个考研真题：,16,2.06数一,数三,4分 若级数,收敛，则级数( ),收敛 .,收敛.,收敛.,收敛.,( A ),( B ),( C ),( D ),D,性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,17,(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).,3. 04数三、4分 设有下列命题：,(2),(3),(4),(1),则以上命题中正确的是( ),B,18,(11年数学三),性质：收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛；,发散级数去括号后所成的级数仍发散.,19,(09数学一),20,6. 级数的部分和数列有界是级数收敛的( )条件 (A)充分; (B)必要; (C) 充要; (D)既不充分也不必要.,定理1,正项级数收敛,21,定理1,(阿贝尔Abel定理),二、求幂级数收敛域的方法,几何说明:,绝对收敛,发散,发散,22,求收敛半径的方法总结:,1.幂级数中奇偶项齐全,时用公式求R.,2.不满足定理2条件的级数(缺项),这时不能用以上公式求R.,应该根据收敛半径的定义用直接法求R.,如：,3.若级数为,则应用代换法，,令,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,求收敛域的方法:,23,例1.,解：,该级数发散.,故所给级数的收敛域为,此时该级数发散.,24,解: 因,级数绝对收敛;,级数发散;,故收敛域为：,一般项,不趋于0,级数发散;,例2.,25,例2.,另解：,则级数为,26,练习几个选择题,(08数学一),27,1.求部分和式的极限;,求和,3.逐项求导或求积分法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,2.初等变换法: 分解、变量代换后套用公式;,（在收敛区间内）.,三、幂级数和函数的求法,28,请熟记：常用函数的幂级数展开式,29,2010数一,解：,30,例2. 求幂级数,解法1: 易求出级数的收敛域为,31,例2. 求幂级数,解法2: 易求出级数的收敛域为,32,求常数项级数的和,法1:利用级数和的定义求,法2:阿贝尔法(构造幂级数,用幂级数的和函数求),1)欲求 的和,构造幂级数,求出它的和函数S(x),所求为S(1),2)欲求 的和,构造幂级数,求出它的和函数S(x),所求为S(x)=S(b),33,解：,34,说明：构造的幂级数是不唯一的.如,还可构造幂级数：,原则是所构造的幂级数的和函数容易求出.,35,四、函数的幂级数展开法,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式的函数展开,1. 直接展开法,第一步,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,0.,求,第二步 写出泰勒级数,则,并求出其收敛半径 R ;,36,2. 间接展开法.,根据唯一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量,(幂级数的运算性质),代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,将所给函数展开成幂级数.,经验：,1)有理函数,转化,2)指数函数,转化,3)对数函数,转化,4)三角函数,转化,5)反三角函数：,先求导化为有理函数，再积分,37,例1. 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求级数,38,39,解：,(2010数2),40,解：,41,3.收敛定理：,周期为2的函数f (x)，,若满足狄利克雷充分条件,x 为f (x)的间断点，,五、函数的傅里叶级数展开法,42,(1) S(x)与 f (x)的定义域为,(2) S(x)与f (x)的周期性相同且周期相等.,x 为f (x)的连续点时,(3)S(x)与f (x)的奇偶性相同.,对定义域为R的周期为2的函数f (x),的和函数 S(x)与f (x)的,关系：,43,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,周期为2l的函数f (x)傅里叶级数展开法,4.正弦级数和余弦级数,(1)奇函数f (x)的傅氏级数称为正弦级数.,(2)偶函数f (x)的傅氏级数称为余弦级数.,44,作法:,1)对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展 开成傅氏级数.,5.对于非周期函数,2)对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可 展开成傅氏级数.,45,解:,(92考研),46,例2. 设,则,(99 考研),的傅里叶级数的和函数,和函数的周期为2,47,(09数学三),(08数学一),练习题,3. 设,提示:,(03数学一),(88数学一),48,练习：,答案:,49,2009数一,练习：,.求下列极限,提示:,50,考察 级数：,n 为奇数,n 为偶数,解答:,因为,故比值判别法失效.,正确解答:,说明:,比值判别法成立,根值判别法成立,