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一、 子弹大木块【例2】如图所示,质量为M的木块固定在光滑的水平面上,有一质量为m的子弹以初速度v0水平射向木块,并能射穿,设木块的厚度为d,木块给子弹的平均阻力恒为f.若木块可以在光滑的水平面上自由滑动,子弹以同样的初速度水平射向静止的木块,假设木块给子弹的阻力与前一情况一样,试问在此情况下要射穿该木块,子弹的初动能应满足什么条件?【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动,此时子弹若能恰好打穿木块,那么子弹穿出木块时(子弹看为质点),子弹和木块具有相同的速度,把此时的速度记为v,把子弹和木块当做一个系统,在它们作用前后系统的动量守恒,即mv0(mM)v对系统应用动能定理得fdmv(Mm)v2由上面两式消去v可得fdmv(mM)()2整理得mvfd即mv(1)fd据上式可知,E0mv就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能,也就是说,子弹恰能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f和木块的厚度d(或者说与fd)有关,还跟两者质量的比值有关,在上述情况下要使子弹打穿木块,则子弹具有的初动能E0必须大于(1)fd.72、如图所示,静止在光滑水平面上的木块,质量为、长度为。颗质量为的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力,要使子弹刚好从木块的右端打出,则子弹的初速度应等于多大?涉及子弹打木块的临界问题分析:取子弹和木块为研究对象,它们所受到的合外力等于零,故总动量守恒。由动量守恒定律得:要使子弹刚好从木块右端打出,则必须满足如下的临界条件:根据功能关系得:解以上三式得:二、 板块1、 如图1所示,一个长为L、质量为M的长方形木块,静止在光滑水平面上,一个质量为m的物块(可视为质点),以水平初速度从木块的左端滑向右端,设物块与木块间的动摩擦因数为,当物块与木块达到相对静止时,物块仍在长木块上,求系统机械能转化成内能的量Q。图1解析:可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度,再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q。对物块,滑动摩擦力做负功,由动能定理得:即对物块做负功,使物块动能减少。对木块,滑动摩擦力对木块做正功,由动能定理得,即对木块做正功,使木块动能增加,系统减少的机械能为:本题中,物块与木块相对静止时,则上式可简化为:又以物块、木块为系统,系统在水平方向不受外力,动量守恒,则:联立式、得:故系统机械能转化为内能的量为:【例10】如图所示,质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m的小木块A,mM现以地面为参照系给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图),使A开始向左运动、B开始向右运动,但最后A刚好没有滑离B板以地面为参照系,(1)若已知A和B的初速度大小为 ,求它们最后的速度的大小和方向(2)若初速度的大小未知,求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离【分析与解】(1)A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度.设此速度为V,根据mM,可知 ,判断出V的方向应与B板初速度同向,即向右A和B的初速度的大小为 ,则由动量守恒可得:解得: 方向向右(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法,在此基础上形成正确的物理图景注意以下说理分析:A在B板的右端时初速度向左,而到达B板左端时的末速度向右,若以地面为参考,可见A在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动,直到相对地面速度为零的阶段,而后经历因B板速度方向向右,A相对B板向左,故A所摩擦力方向向右,A向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为 的阶段,如下图所示在前一阶段,摩擦力阻碍A向左运动,在后一阶段,摩擦力为动力,使A向右加速设 为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的过程, 为A从速度为零增加到速度 过程中向右运动的路程,L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程设A与B之间的滑动摩擦力为 ,则由功能关系可知:对于B: 对于A: 由几何关系 由以上四式解得 三、 弹簧11(8分)如图2所示,质量M4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的距离L0.5 m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑小木块A以速度v010 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动已知木块A的质量m1 kg,g取10 m/s2.求:(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度 ; 2 m/s(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能 39 J 4、(09山东38)(2)如图所示,光滑水平面轨道上有三个木块,A、B、C,质量分别为mB=mc=2m,mA=m,A、B用细绳连接,中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动,C静止。某时刻细绳突然断开,A、B被弹开,然后B又与C发生碰撞并粘在一起,最终三滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。解析:(2)设共同速度为v,球A和B分开后,B的速度为,由动量守恒定律有,联立这两式得B和C碰撞前B的速度为。例2. 在原子核物理中,研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似,两个小球A和B用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态,在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P,右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球,如图1所示,C与B发生碰撞并立即结成一个整体D,在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变,然后,A球与挡板P发生碰撞,碰后A、D都静止不动,A与P接触而不粘连,过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失),已知A、B、C三球的质量均为m。图1(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。解析:(1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为v1,由动量守恒得当弹簧压至最短时,D与A的速度相等,设此速度为v2,由动量守恒得,由以上两式求得A的速度。(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为EP,由能量守恒,有撞击P后,A与D的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转弯成D的动能,设D的速度为v3,则有以后弹簧伸长,A球离开挡板P,并获得速度,当A、D的速度相等时,弹簧伸至最长,设此时的速度为v4,由动量守恒得当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为EP,由能量守恒,有解以上各式得。例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量为4kg的物体C静止在前方,如图3所示,B与C碰撞后二者粘在一起运动。求:在以后的运动中,图3(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大?(2)弹性势能的最大值是多大?(3)A的速度有可能向左吗?为什么?解析:(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大,由于A、B、C三者组成的系统动量守恒,有解得:(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B、C两者速度为,则设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP,根据能量守恒(3)由系统动量守恒得设A的速度方向向左,则则作用后A、B、C动能之和实际上系统的机械能根据能量守恒定律,是不可能的。故A不可能向左运动。四、 曲面与摆球(1)(a)图中B是半径为R的圆弧轨道,A、B最初均处于静止状态,现让A自由下滑,求A滑离B时A和B的速度大小之比.(2)(b)图中B也是半径为R的圆弧轨道,初态时B静止不动,滑块A以速度v0沿轨道上滑,若滑块已滑出轨道B,求滑出时B的速度大小.(3)(c)图中B为一半径为R的半圆形轨道,开始时B静止不动,滑块A以一初速度v0使其沿轨道下滑,若A能从轨道的另一端滑出,求滑出时B的速度为多大?(4)(d)图中小球来回摆动,求小球摆至最低点时A、B速度大小之比.【答案】(1)vAvBMm(2)vB(3)vB0(4)vAvBMm【拓展2】如图所示,一不可伸长的轻质细绳,静止地悬挂着质量为M的木块,一质量为m的子弹,以水平速度v0击中木块,已知M9m,不计空气阻力.问:(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短),在木块上升的最高点比悬点O低的情况下,木块能上升的最大高度是多少?(设重力加速度为g)(2)如果子弹以水平速度v0击中木块,在极短时间内又以水平速度穿出木块,则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少?【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短,子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力,所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹与木块开始上升时的速度为v1,则mv0(mM)v1因不计空气阻力,所以系统上升过程中机械能守恒,设木块上升的最大高度为h,则(mM)v(mM)ghh(2)子弹射穿木块前后,子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹穿出时木块速度为v2,则mv0m()Mv2,在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为Emvm()2Mvmv【例4】光滑的水平面上有A、B两辆小车,mB1 kg,原来静止.小车A连同支架的质量为mA1 kg,现将小球C用长为L0.2 m的细线悬于支架顶端,mC0.5 kg.开始时A车与C球以v04 m/s的共同速度冲向B车,如图所示.若A、B发生正碰后粘在一起,不计空气阻力,取g10 m/s2.试求细线所受的最大拉力.【正解】小车A与小车B相碰的瞬间,C的速度保持v0不变,A、B组成的系统动量守恒:mAv0(mAmB)vAB解得vAB m/s2 m/s方向与v0相同.A、B结合成整体的瞬间,C的速度仍为v0,所以C相对于A、B整体的相对速度为v相v0vAB2 m/sA、B碰后,C相对于悬点做圆周运动,在最低点时绳子的拉力最大,由牛顿第二定律可得FmCg,即FmCg(0.510) N N15 N4、(2012新课标)(2)(9分)如图,小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O。让球a静止下垂,将球b向右拉起,使细线水平。从静止释放球b,两球碰后粘在一起向左摆动,此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60。忽略空气阻力,求(i)两球a、b的质量之比;(ii)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。abO解:(i)设球b的质量为m2,细线长为L,球b下落至最低点,但未与球a相碰时的速度为v,由机械能守恒定律得 式中g是重力加速度的大小。设球a的质量为m1;在两球碰后的瞬间,两球共同速度为v,以向左为正。有动量守恒定律得 设两球共同向左运动到最高处,细线与竖直方向的夹角为,由机械能守恒定律得联立式得代入数据得(ii)两球在碰撞过程中的机械能损失是 联立式,Q与碰前球b的最大动能Ek(Ek=)之比为联立式,并代入题给数据得 70、如图5所示,甲、乙两完全一样的小车,质量均为,乙车内用细绳吊一质量为的小球,当乙车静止
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