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2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,1,有了定义在集代数A上的测度,我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张?最后得到 “测度扩张定理”。 首先必须明白什么叫“扩张”? 定义1.2.3 A1,A2是上的两个非空集合类,且A1 A2, i是Ai上的测度(i=1,2), 若对AA1 ,有1(A)=2(A), 则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。,二、测度的扩张定理,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,2,以下讨论的前提是A是上的集代数,是A上的测度,称F上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (所有的A的覆盖的测度和的下确界,即为A的外测度。) 注意:这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。 外测度不见得是测度!,1、F上的外测度*(A),对任意A F,定义,SA,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,3,下确界(infimum):,对于给定的数集S=x,若数满足条件: (1) 是S的下界,即对xS,有x; (2)对任何大于的数,一定存在S中某个 数x0,使得x00, x0S,使得 x0+) 则称为数集S的下确界,记作: =inf S,例:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,4,引理1.2.1 由集代数A上的测度引出的F上的外测度*,满足:,下面讨论外测度的性质:,证明:(1)因AA,由外测度定义,有: * (A) (A) 因此,只需证明* (A) (A),不减性,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,5,综上所述(A)= *(A),下面证明* (A) (A),只需说明(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,6,即:外测度是单调上升的函数。,即覆盖B的集合序列一定覆盖A,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,7,则结论显然成立。,由定义:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,8,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,9,为了把那些满足可加性的集合挑选出来,我们引入 *可测集的概念,并构成一个新的集合类A * ,从下面的分析可以看到,该集合类A *不仅为-代数,而且 * 是A *上的测度。,问题: 外测度 * 在F上未必满足-可加性!,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,10,2、 *可测集,(1.2.3),(1.2.4),证明:必要性显然成立 下面简单说明充分性:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,11,由引理1.2.1,有 *()=0 由引理1.2.1(3)知外测度函数 *具有次可加性,则在引理1.2.1(3)中取,我们记A *为所有 *可测集组成的集合类。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,12,引理1.2.3 A *满足: (1) A *是-代数;(若集代数对可列不交并封闭则为-代数),证明: (1) 首先证明A *是集代数 a、 *()=0,D ,有:,(1.2.4)式的定义具有对称性, A *,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,13,则有:AB A *,综上所述知A *是集代数。,(1.2.5),c、A,BA *,有:ABA * 若A,BA *,则对D ,有:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,14,下面说明A *是-代数,只需证A *对可列不交并运算封闭。 设An A *,n=1,2,, Ai Aj=,ij,则:对D,有:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,15,令n,有:,A * ,则A *是-代数。,(1.2.6),由前面结论,有:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,16,引理1.2.3 A *满足:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,17,由前面的结论,有:,由(1.2.6)式:,结论得证。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,18,(3)欲证 *是A *上的测度,只须说明 *在A *上满足-可加性。,考虑到v*()=0,所以A A *上,有: v*(A)0 则v*是A *上的测度。 整个引理的证明完毕。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,19,3、测度扩张定理,问题: A *是否是包含A的-代数?, *是A *上的测度, *不降,满足次可加性,?,对任意A F,定义,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,20,3、测度扩张定理,若A *是包含A的-代数,则 *便是定义在A上的测度在A *上的一个扩张;进一步地,这样的扩张唯一吗?为了保证唯一性,不必将 扩张到A *上,而只需扩张到(A)即可。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,21,定理1.2.4 设是的集代数A上的测度,则在(A) 上存在一个扩张;如果在A上是-有限的,则在(A) 上的扩张是唯一的。,证明:显然第一部分只需证: A A *,A A , D, 0,存在A 中集序列An,n=1,2,使得,这是因为若A A *,则(A ) A * , *是A *上的测度,则是(A )上的测度,且对 于是 *是 在(A ) 上的扩张。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,22,由*是A上的测度,且,由的任意性,则有:,即:AA *,则A A *,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,23,(1)首先证明:若1,2是在(A)上的任意两个扩张,证明对A (A)及任意的正整数n,有: 1(ADn)=2 (ADn) (1.2.8),第二部分:唯一性 A是集代数, 是A上的-有限测度,则存在:,(2)再证明对A (A),有1(A)=2 (A),2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,24,(1)对给定的n,令: =A:A (A), 1(ADn)=2 (ADn) 下证: = (A) 显然A ,且 (A)。 ( A A ,因A 为集代数,则: ADn A, 必有: (ADn)= 1(ADn)=2 (ADn),则A ) 若能证明为单调类,则(A) 另: A为集代数,则: (A)= (A) 所以: (A) ,即: = (A),结论得证。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,25,下面证明为单调类:,Ak ,Ak ,则: 1(Ak Dn)=2 (Ak Dn)2 (Dn)=(Dn)+,k=1,2, 根据测度的连续性,有:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,26,(2):,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,27,三、测度的完全化 初等概率中我们遇到这样的问题:考虑某一集合BA A ,且P(A)=0,但B未必属于A ,即B未必是事件,未必有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问题,必须将A上的测度完全化。,定义1.2.4 设是-代数F(或集代数A )上的测度,如果AA, (A)=0,B A,则B F (或 A),因而必有(B)=0 ,则称为F (或A )上的完全测度。 以下介绍如何将-代数F上的测度完全化?,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,28,定理1.2.5(测度的完全化)设是-代数F上的测度,记:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,29,主要证明思路:,具体证明过程略,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,30,有:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,31,测度的完全化,测度完全化的好处在于:假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立,则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集,一般来说,它不一定属于F,但它属于 ,且它的 测度为零。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,32,第三节 L-S测度和L测度,作为测度的重要特列,本节给出了Lebesque-Stieltjes测度(简称 L-S测度)的构造方法,其特殊情况就是L测度。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,33,(-,a B (1) (a,b B (1) (a,b) B (1) b B (1) a,b B (1),一维Borel域 设=R(1) ,考虑由R(1)的一些子集组成的集合类:,G= (-,a,a R(1) ,称(G)为R(1)的Borel域,记为B(1) ,并称B (1)中的元素为一维的Borel集。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,34,推广情形:设 为n维实数空间,考虑由 的一些子集组成的集合类:,称(G)为 上的Borel域,记作B (n)。,G,n维Borel域,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,35,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,35,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,当bi=+时,将(ai,bi改为(ai, +)。于是(A)= (G)= B (n)。,令,要说明(A)= (G)= B (n),分为两部分:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,36,如果某个bj=+,上式中改为ajxjbj,于是,为表达方便,,下面介绍利用广义分布函数来构造A上的L-S测度。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,37,注意:分布函数一定是广义分布函数。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,38,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,38,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,利用n维广义分布函数F(x1 , x2 , xn),得到: A上的测度F 利用测度扩张定理可以唯一确定一个B (n)上的测度 利用测度完全化定理,可以唯一确定一个完全化的测度,这就是著名的kolmogorov定理。 类似地也可利用分布函数构造: B (T)上的测度,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,39,可以证明:对于n元广义分布函数F(x1,x2,xn),在B (n)上存在唯一的测度F,满足: F(a,b)=(a,b F,其中a,b R(n) 下面简单地阐述构造的步骤和方法: 若a, b R(n) ,(a,bA,则定义F(a,b)=(a,b F,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,40,A上的每个集合可表为互不相交的(a,b的有限并,即:,由前面两步在A上定义的测度是-有限的,由扩张定理,可以将F唯一地扩张到(A) = B (n)上,且使得: F(a,b)=(a,b F,其中a,b R(n),2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,41,将B (n)上的测度F完全化,记B (n)关于F的完全化的-代数为B (n)F ,定义在B (n)F 上的完全化测度仍记为F 。 综上所述,称这样定义的测度F为由广义分布函数F产生的Lebesque-Stieltjes测度(简称L-S测度)。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,42,L-S测度的特殊情况是L测度,此时: F(x1,x2,xn)= x1x2xn 当n=1, L测度即为区域(a,b的长度 当n=2, L测度即为区域(a,b的面积 当n=3, L测度即为区域(a,b的体积 此时: (a,bF=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3 +a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3 -a1a2a3 =(b3-a3
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