【MeiWei_81-优质适用文档】递推法递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.例1 质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程.解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为2t末的速度为3t末的速度为则nt末的速度为 （2）同理：可推得nt内通过的总路程例2 小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）解析 小球从h0高处落地时，速率第一次跳起时和又落地时的速率第二次跳起时和又落地时的速率第m次跳起时和又落地时的速率每次跳起的高度依次，通过的总路程 经过的总时间为 例3 A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔t，在每一个t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、an，显然当an0时三只猎犬相遇.因为即此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有拉第一节车厢时：故有 拉第二节车厢时：故同样可得：推理可得 由另由题意知因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5 有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图62所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为将第3、4、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+Wn 例6 如图63所示，有六个完全相同的长条薄片、2、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力.解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图63甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有所以 再以A6B6为研究对象，受力情况如图63乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴，根据力矩平衡有由、联立，解得 所以，A1B1薄片对A6B6的压力为例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值. 解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为1、2、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为第2块相对第3块的最大伸出量为（如图64所示），则同理可得第3块的最大伸出量最后归纳得出所以总跨度跨度与桥孔高的比值为 例8 如图65所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为）. 每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为m=14kg，一侧的每个沙袋质量. 一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.（n是此人的序号数） （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速沿正x轴方向运动，经过第1个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以的水平速度扔到车上，由动量守恒得当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上，同理有，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为，根据动量守恒有.同理有，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有即由此两式解得：为整数取3.当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：解得：设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求即 即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例9 如图66所示，一固定的斜面，倾角，斜面长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系： 即有由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为在发生第11次碰撞过程中的路程 例10 如图67所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计. 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.解析 当m1与m2发生弹性碰撞时，由于m2=2m1，所以m1碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞. 而又由于m2=m3，所以m2与m3碰后，m3能静止在m1的位置，m1又以v速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当m1回到初始位置，则系统为一个周期.以m1、m2为研究对象，当m1与m2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出： 由、式得：以m2、m3为研究对象，当m2与m3发生弹性碰撞后，得以m3、m1为研究对象，当m3与m1发生弹性碰撞后，得由此可见，当m1运动到m2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m1、m2、m3交换位置，当m1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T，由此可得周期例11 有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着. 现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度.解析 每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出这样的关系式是错误的.设第个木块刚被拉动时的速度为，它即将拉动下一个木块时速度增至，第n个木块刚被拉动时速度为. 对第个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有： 对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有 得： 把式代入式得：整理后得： 式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由式可知当n=2时有：当n=3时有：当n=4时有： 一般地有将以上个等式相加，得：所以有在本题中，所以例12 如图68所示，质量m=2kg的平板小车，后端放有质量M=3kg的铁块，它和车之间动摩擦因数开始时，车和铁块共同以的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.解析 小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为v1、v2、v3、vn、车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1、s2、s3、sn、. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第次碰后到发生第n次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有 所以 由这一关系可得：一般地，有由运动学公式可求出车与墙发生第n次碰撞后向左运动的最远距离为类似的，由这一关系可递推到：所以车运动的总路程 因此所以例13 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图69所示，每个木块的质量长度，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为原来木块处于静止状态. 左方第一