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【MeiWei_81重点借鉴文档】兰州大学20RR年数学分析考研试题及解答一、 判断题1设数列数满足:对任意正整数,则收敛。解错。例如:对,对任意正整数,就有,但发散。2设在上Riemann可积,则在上一定有原函数。解错。例如:,显然在上可积,但不存在在上可导,且,的函数,即在上不存在原函数。3设在区间上处处可导,则在上一定Riemann可积。解错。例如:,显然在上连续,在上可积,在上处处可导,但在上无界,在上不可积。4若二元函数在点可微,则在点的所有方向导数都存在。解正确。已有的定理结论。5设积分收敛,是上的单调有界函数,则收敛。解正确。这就是著名的Abel判别法。二计算题。1求。解由,及夹逼定理,知。2求。解。3求级数的收敛域与和函数。解记,则,当时,原级数绝对收敛;当时,原级数发散;当时,原级数发散。所以该幂级数的收敛域为,4级数积分,其中为椭圆沿逆时针方向。解,取任意小,则。5求,其中是平面中的曲线线绕轴所生成的旋转曲面在的部分的外侧。解,由高斯公式,得。3叙述函数列在上不一致收敛到的分析定义,并用定义证明在上不一致收敛。解函数列在上不一致收敛到的分析定义:存在,对任意正整数,存在,使得,在上不一致收敛。事实上,而,所以在上不一致收敛。4设在上一致连续,在上连续,且。证明:在上一致连续。证明令,则在上连续,又存在,所以在上一致连续,故在上一致连续。5设平面截三轴于三点,为坐标原点,是三角形上一点,以为对角线,三坐标平面为三面作一长方体,试求其最大体积。解以为对角线,三坐标平面为三面的长方体体积,其中等号成立当且仅当,。6设是闭区间上的连续可导函数,记,假设且对,成立,证明:(1)是有限集;(2)中使的点的个数与的点的个数最多相差1,即成立。证明(1)断言对,存在,使得时,事实上,由,知,存在,使得时,有,而,是有界闭集,有界是必然的。因为,闭性亦显然,因为对,存在,于是有,上述的开集族就覆盖了有界闭集。根据有限覆盖定理,存在有限个开集,使得,而;(2)不妨设(1)中构造的单增,即,断言,事实上,不妨设,则因在内无零点,而,任意,(否则,由连续函数介值定理,即导出矛盾)。明显的,又,所以。这样,我们从第一个零点开始讨论,知道是交替等于1或-1的,故。7解常微分方程;已知函数二次可导,且满足,求。解(1)由,于是,(2)由,得,易知,齐次方程的通解为。容易验证是一个特解,,通解,再由初始条件,可知,故原积分方程的解为。【MeiWei_81重点借鉴文档】
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