第三节 圆周角和圆心角的关系(二),第三章 圆,耐心填一填，一锤定音！,1.如图，BOC是 角， BAC是 角。 若BOC=80 ， BAC= 。,圆心,圆周,40,A,用心想一想，马到功成,观察图，ABC， ADC和AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？,答： ABC， ADC和AEC都是圆周角。,根据圆周角定理，ABC，ADC，AEC都等于 圆心角AOC的一半。 所以这三个角是相等的。,由此你得到什么结论？,这三个角是相等的。,理由是：,图,用心想一想，马到功成,结论是： 在同圆中，同弧所对的圆周角相等。,如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？,答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。,对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。,问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”， 结论成立吗？请同学们互相议一议。,用心想一想，马到功成,如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？,用心想一想，马到功成,观察图，BC是O的直径，它所对的圆周角是 锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？,答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径 将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是BOC=180 ，所以 BAC=90 。,图,观察图，圆周角BAC=90 ，弦BC经过圆心吗？为什么？,图,答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由BAC=90 可得圆心角BOC=180 。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是O的一条直径。,由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。,放开手脚 做一做,小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？,答：图（2）是半圆形。理由是：90 的圆周角所对的弦是直径。,放开手脚 做一做,如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C， 使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？,分析：由于AB是O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得ADBC.又因为ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。,解：BD=CD。 理由是：连接AD。 AB是O的直径， ADB=90 ， 即AD BC。 又AC=AB。 BD=CD,教材题变形，拓展延伸,船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。 如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”，当船与两个 灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。,（1）当船与两个灯塔的夹角 大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？,分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角ACB”实际上就是圆周角。 船P与两个灯塔的夹角为，P有可能在O外，P有可能在O内.当C时，船位于暗礁区域内；当C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.,解：（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角” C时，船位于暗礁区域内（即O内）。理由是：,连接BE.,假设船在O上，则有=C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O外，则有AEB，即C，这与C矛盾，所以船不可能在O外。因此，船只能位于O内。,（1）当船与两个灯塔的夹角 大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？,（2）当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？,解：（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角” C时，船位于暗礁区域外（即O外）。理由是： 假设船在O上，则有=C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O内，则有AEB，即C，这与C矛盾，所以船不可能在O内。因此，船只能位于O外。,大胆尝试，练一练,1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。,答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。,答：BDC= BAC 。,3.如图,O的直径AB=10 cm，C为O 上的一点，ABC=30 ，求AC的长。,课时小结,1.要理解圆周角定理的推论。,2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。,3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的 圆周角也是常用方法之一。,4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。,