【MeiWei81-优质实用版文档】抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、抽象函数的对称性定理1.若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。推论1.若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。推论2.若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。总结：G的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3.若函数定义域为，且满足条件：，又若方程有个根，则此个根的和为。定理2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。推论1.若函数定义域为,且满足条件：成立，则的图象关于点对称。推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。总结：G的系数一个为1，一个为-1，f(G)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。定理3.若函数定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。推论1.函数与函数的图象关于直线对称。推论2.函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数定义域为，则函数与的图象关于点对称。推论.函数与函数图象关于点对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论1.若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件则是以为周期的周期函数。推论3.若函数满足条件则是以为周期的周期函数。定理7.若函数的图象关于直线与对称，则是以为周期的周期函数。定理8.若函数的图象关于点与点对称，则是以为周期的周期函数。定理9.若函数的图象关于直线与点，则是以为周期的周期函数。总结：G的系数同为为1，具有周期性。1定义在R上的函数f(G)满足：f(G)f(G2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2C.D.2已知奇函数f(G)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么函数f(G)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是减函数且最大值为53已知函数f(G1)是奇函数，f(G1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.4对于定义在R上的函数f(G)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(G)是奇函数，则f(G1)的图象关于点A(1,0)对称；若对GR，有f(G1)f(G1)，则yf(G)的图象关于直线G1对称；若函数f(G1)的图象关于直线G1对称，则f(G)为偶函数；函数yf(1G)与函数yf(1G)的图象关于直线G1对称5已知定义域为R的函数f(G)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围6设函数f(G)的定义域关于原点对称，且满足f(G1G2)；存在正常数a，使f(a)1.求证：(1)f(G)是奇函数；(2)f(G)是周期函数，并且有一个周期为4a.1、若函数对一切实数都有f(2G)=f(2G)则（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)2、设函数y=f(G)定义在实数集R上，则函数y=f(G1)与y=f(1G)的图象关于（）对称。A.直线y=0B.直线G=0C.直线y=1D.直线G=13、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（）A.恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负4、函数yf(G)是定义在实数集R上的函数，那么yf(G4)与yf(6G)的图象之间（D）A关于直线G5对称B关于直线G1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称5、设f(G)是定义在R上的函数，且满足f(10G)f(10G)，f(20G)f(20G)，则f(G)是（）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数6、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A.0B.C.1D.7、已知，则（）.A.B.C.D.38、在数列则= 9、定义域为R，且对任意都有，若则= 10、已知f(G)是R上的偶函数，对都有f(G6)=f(G)f(3)成立，若f(1)=2，则f(20XX)= 11、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 12、设f(G)是定义在R上的偶函数，且f(1+G)=f(1G),当1G0时，f(G)=G，则f(8.6)=_13、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.参考答案：1、若函数对一切实数都有f(2G)=f(2G)则（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)答案：A。2、设函数y=f(G)定义在实数集R上，则函数y=f(G1)与y=f(1G)的图象关于（）对称。A.直线y=0B.直线G=0C.直线y=1D.直线G=1答案：D。由3、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（）A.恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负答案A。分析：图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，4、函数yf(G)是定义在实数集R上的函数，那么yf(G4)与yf(6G)的图象之间（D）A关于直线G5对称B关于直线G1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称答案：D。解：据复合函数的对称性知函数yf(G4)与yf(6G)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。5、设f(G)是定义在R上的函数，且满足f(10G)f(10G)，f(20G)f(20G)，则f(G)是（）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数答案：C。6、定义在R上的非常数函数满足：f(10+G)为偶函数，且f(5G)=f(5+G),则f(G)一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数答案：A.解：f(10+G)为偶函数，f(10+G)=f(10G).f(G)有两条对称轴G=5与G=10，因此f(G)是以10为其一个周期的周期函数，G=0即y轴也是f(G)的对称轴，因此f(G)还是一个偶函数。7、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A.0B.C.1D.答案：A。解析：令，则；令，则由得，构造函数，由，所以8、已知，则（）.A.B.C.D.3答案：A。分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.9、在数列则= 答案：。10、定义域为R，且对任意都有，若则=_答案：。11、已知f(G)是R上的偶函数，对都有f(G6)=f(G)f(3)成立，若f(1)=2，则f(20XX)= 答案：2.12、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 答案：0.函数关于和对称，周期为4。13、设f(G)是定义在R上的偶函数，且f(1+G)=f(1G),当1G0时，f(G)=G，则f(8.6)=_解：f(G)是定义在R上的偶函数G=0是y=f(G)对称轴；又f(1+G)=f(1G)G=1也是y=f(G)对称轴。故y=f(G)是以2为周期的周期函数，f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.311、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有是以2为周期的函数，.【MeiWei81-优质实用版文档】