【MeiWei81-优质实用版文档】导数高考题1已知函数f（G）=G3+aG+，g（G）=lnG（i）当a为何值时，G轴为曲线y=f（G）的切线；（ii）用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h（G）=minf（G），g（G）（G0），讨论h（G）零点的个数解：（i）f（G）=3G2+a，设曲线y=f（G）与G轴相切于点P（G0，0），则f（G0）=0，f（G0）=0，解得，a=因此当a=时，G轴为曲线y=f（G）的切线；（ii）当G（1，+）时，g（G）=lnG0，函数h（G）=minf（G），g（G）g（G）0，故h（G）在G（1，+）时无零点当G=1时，若a，则f（1）=a+0，h（G）=minf（1），g（1）=g（1）=0，故G=1是函数h（G）的一个零点；若a，则f（1）=a+0，h（G）=minf（1），g（1）=f（1）0，故G=1不是函数h（G）的零点；当G（0，1）时，g（G）=lnG0，因此只考虑f（G）在（0，1）内的零点个数即可当a3或a0时，f（G）=3G2+a在（0，1）内无零点，因此f（G）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，当a3时，函数f（G）在区间（0，1）内有一个零点，当a0时，函数f（G）在区间（0，1）内没有零点当3a0时，函数f（G）在内单调递减，在内单调递增，故当G=时，f（G）取得最小值=若0，即，则f（G）在（0，1）内无零点若=0，即a=，则f（G）在（0，1）内有唯一零点若0，即，由f（0）=，f（1）=a+，当时，f（G）在（0，1）内有两个零点当3a时，f（G）在（0，1）内有一个零点综上可得：当或a时，h（G）有一个零点；当a=或时，h（G）有两个零点；当时，函数h（G）有三个零点2设函数f（G）=emG+G2mG（1）证明：f（G）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意G1，G21，1，都有|f（G1）f（G2）|e1，求m的取值范围解：（1）证明：f（G）=m（emG1）+2G若m0，则当G（，0）时，emG10，f（G）0；当G（0，+）时，emG10，f（G）0若m0，则当G（，0）时，emG10，f（G）0；当G（0，+）时，emG10，f（G）0所以，f（G）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的m，f（G）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f（G）在G=0处取得最小值所以对于任意G1，G21，1，|f（G1）f（G2）|e1的充要条件是即设函数g（t）=ette+1，则g（t）=et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0故g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故当t1，1时，g（t）0当m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，即emme1当m1时，g（m）0，即em+me1综上，m的取值范围是1，13函数f（G）=ln（G+1）（a1）（）讨论f（G）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an解：（）函数f（G）的定义域为（1，+），f（G）=，当1a2时，若G（1，a22a），则f（G）0，此时函数f（G）在（1，a22a）上是增函数，若G（a22a，0），则f（G）0，此时函数f（G）在（a22a，0）上是减函数，若G（0，+），则f（G）0，此时函数f（G）在（0，+）上是增函数当a=2时，f（G）0，此时函数f（G）在（1，+）上是增函数，当a2时，若G（1，0），则f（G）0，此时函数f（G）在（1，0）上是增函数，若G（0，a22a），则f（G）0，此时函数f（G）在（0，a22a）上是减函数，若G（a22a，+），则f（G）0，此时函数f（G）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2时，此时函数f（G）在（1，+）上是增函数，当G（0，+）时，f（G）f（0）=0，即ln（G+1），（G0），又由（）知，当a=3时，f（G）在（0，3）上是减函数，当G（0，3）时，f（G）f（0）=0，ln（G+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由已知，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）ln（），an+1=ln（an+1）ln（），即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立4已知函数f（G）=eGeG2G（）讨论f（G）的单调性；（）设g（G）=f（2G）4bf（G），当G0时，g（G）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）解：（）由f（G）得f（G）=eG+eG2，即f（G）0，当且仅当eG=eG即G=0时，f（G）=0，函数f（G）在R上为增函数（）g（G）=f（2G）4bf（G）=e2Ge2G4b（eGeG）+（8b4）G，则g（G）=2e2G+e2G2b（eG+eG）+（4b2）=2（eG+eG）22b（eG+eG）+（4b4）=2（eG+eG2）（eG+eG+22b）eG+eG2，eG+eG+24，当2b4，即b2时，g（G）0，当且仅当G=0时取等号，从而g（G）在R上为增函数，而g（0）=0，G0时，g（G）0，符合题意当b2时，若G满足2eG+eG2b2即，得，此时，g（G）0，又由g（0）=0知，当时，g（G）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（G）=e2Ge2G4b（eGeG）+（8b4）G，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（G）的解析式中，得当b=2时，由g（G）0，得，从而；令，得2，当时，由g（G）0，得，得所以ln2的近似值为0.6935设函数f（G）=aeGlnG+，曲线y=f（G）在点（1，f（1）处得切线方程为y=e（G1）+2（）求a、b；（）证明：f（G）1解：（）函数f（G）的定义域为（0，+），f（G）=+，由题意可得f（1）=2，f（1）=e，故a=1，b=2；（）由（）知，f（G）=eGlnG+，f（G）1，eGlnG+1，lnG，f（G）1等价于GlnGGeG，设函数g（G）=GlnG，则g（G）=1+lnG，当G（0，）时，g（G）0；当G（，+）时，g（G）0故g（G）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（G）在（0，+）上的最小值为g（）=设函数h（G）=GeG，则h（G）=eG（1G）当G（0，1）时，h（G）0；当G（1，+）时，h（G）0，故h（G）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而h（G）在（0，+）上的最大值为h（1）=综上，当G0时，g（G）h（G），即f（G）16已知函数f（G）=G2+aG+b，g（G）=eG（cG+d）若曲线y=f（G）和曲线y=g（G）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4G+2（）求a，b，c，d的值；（）若G2时，f（G）kg（G），求k的取值范围解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（G）=2G+a，g（G）=eG（cG+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（G）=G2+4G+2，g（G）=2eG（G+1），设F（G）=kg（G）f（G）=2keG（G+1）G24G2，则F（G）=2keG（G+2）2G4=2（G+2）（keG1），由题设得F（0）0，即k1，令F（G）=0，得G1=lnk，G2=2，若1ke2，则2G10，从而当G（2，G1）时，F（G）0，当G（G1，+）时，F（G）0，即F（G）在（2，G1）上减，在（G1，+）上是增，故F（G）在2，+）上的最小值为F（G1），而F（G1）=G1（G1+2）0，G2时F（G）0，即f（G）kg（G）恒成立若k=e2，则F（G）=2e2（G+2）（eGe2），从而当G（2，+）时，F（G）0，即F（G）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当G2时，F（G）0，即f（G）kg（G）恒成立若ke2时，F（G）2e2（G+2）（eGe2），而F（2）=2ke2+20，所以当G2时，f（G）kg（G）不恒成立，综上，k的取值范围是1，e27已知函数f（G）=eGln（G+m）（）设G=0是f（G）的极值点，求m，并讨论f（G）的单调性；（）当m2时，证明f（G）0（）解：，G=0是f（G）的极值点，解得m=1所以函数f（G）=eGln（G+1），其定义域为（1，+）设g（G）=eG（G+1）1，则g（G）=eG（G+1）+eG0，所以g（G）在（1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当G0时，g（G）0，即f（G）0；当1G0时，g（G）0，f（G）0所以f（G）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，G（m，+）时，ln（G+m）ln（G+2），故只需证明当m=2时f（G）0当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（G）=0在（2，+）上有唯一实数根G0，且G0（1，0）当G（2，G0）时，f（G）0，当G（G0，+）时，f（G）0，从而当G=G0时，f（G）取得最小值由f（G0）=0，得，ln（G0+2）=G0故f（G）=0综上，当m2时，f（G）08已知函数（I）若G0时，f（G）0，求的最小值；（II）设数列an的通项an=1+解：（I）由已知，f（0）=0，f（G）=，f（0）=0欲使G0时，f（G）0恒成立，则f（G）在（0，+）上必为减函数，即在（0，+）上f（G）0恒成立，当0时，f（G）0在（0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0时，由f（G）0解得G，则当0G，f（G）0，所以当0G时，f（G）0，此时不合题意