2 局部极值的计算,首先研究极值点的特征 , 即研究必要条件,对任意的 x N( P0 , ),则根据定义 , 存在 N( P0 , ) , 使,若令,则有, x = x0 是 h(x) 的局部极小值点,y = y0 是 g(y) 的局部极小值点,由 f (x , y) 在 P0 处可微, h(x) 在 x = x0 处可导,g(y) 在 y = y0 处可导,于是在 P0 点处成立,说明:,解,(1) 在 R2 上可微, 稳定点为 (0 , 0),又, (0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点,极小值: f (0 , 0) = 1,(2) 在 R2 上可微, 稳定点为 (0 , 0),又在点 (a , 0) 处 :,在点 (0 , b) 处:,(3), f (x , y) 无稳定点,又注意到, (0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 , 极小值 f (0 , 0) = 0,说明:,上例说明,(2) 偏导数不存在的点也可能为极值点,说明:,(1) 临界点未必一定是极值点 , 仅是必要条件,(2) 不是极值点的临界点称为鞍点,(1) 稳定点未必一定是极值点,定理 ( 二阶充分条件),则有,(1) 当 时 , P0 为 f 的极小值点,(2) 当 时 , P0 为 f 的极大值点,(3) 当 H 0 时 , P0 为 f 的鞍点,(4) 当 H = 0 时 , 对 P0 不能作出定性结论,记,解,(1) f 是 R2 上的可微函数,解得临界点 P = (1 , 0),又,由 , 知 P = (1 , 0) 是 f 的极小值点,极小值:,(2) f 是 R2 上的可微函数,解得临界点 :,1) 若 a 0,在 P4 处 :,当 a 0 时 , f 在 P4 处取得极大值:,当 a 0 时 , f 在 P4 处取得极小值:,2) 若 a = 0,此时,并且 H(0 , 0) = 0 , f (x , y) = xy(x + y),可知: 在第一象限上 f (x , y) 0,在第三象限上 f (x , y) 0,所以 , (0 , 0) 是鞍点,(3),这是隐函数求极值的问题,将方程两边对 x , y 求偏导数有,(1),(2),令,代入原方程有,所以使 的点:,再将 (1) 两边对 x 求偏导数,(3),将 (2) 两边对 y 求偏导数,(4),将 (2) 两边对 x 求偏导数,(5),在点 处 , 从 (3) , (4) , (5) 知,又, P1 是极大值点 , 极大值 z = 2,又, P1 是极小值点 , 极小值 z = 2,在点 处 , (3) , (4) , (5) 知,3 最值问题 条件极值,最值问题,设 P D 为 f 的最值点,(2) 若 P D , 若设 D: (x , y) = 0 , 则需解,(1) 求 f 在 D 内部的局部极值点,(2) 求 f 在 D 上的条件极值点,解,(2) 再求 f 在 D 上的最值, 稳定点 P1 = (2 , 1),(1) 先求 f 在 D 内部的极值点,1) 在 x = 0 ( 0 y 6 ) 上 , f (0 , y ) = 0,2) 在 y = 0 ( 0 x 6 ) 上 , f (x , 0 ) = 0,3) 在 x + y = 6 上 , 即 y = 6 x, x = 0 , x = 4, 在 x + y = 6 上可能的最值点为,所以 , f 在 D 上的最大值,说明:,以上解条件极值问题的方法,从 (x , y) = 0 确定 y = y(x) , 代入 f , 解一元问题,问题:,4 拉格朗日乘数法 ( 乘子法 ),(x , y) = 0 及等值线 f (x , y) = c 如图所示,可以看到:,所以 , 在最优值 A , B 处 :,(x , y) = 0 与某等值线 f (x , y) = c 有公共的切线, (x , y) = 0 与 f (x , y) = c 有公共的法线, ( x , y) 与 f (x , y) 在 A , B 处共线, 存在 R , 使,(7),即在最优点 (x0 , y0) 处应满足: 存在 0 使,令 L(x , y , ) = f (x , y) + (x , y),( 拉格朗日函数 ),则上式可等价地表示为,即,对于一般的等式约束的极值问题 ( 或规划问题 ),引入拉格朗日函数 :,其中,条件极值 (10) 的必要条件:,解,构造拉格朗日函数, z = 1, = 1,代入 (14) 得,所以 , 可能的极值点:,此时即为 f 在圆上的极小值 , 极大值 , 所以,极小值:,极大值:,解,设 n 个正数为 , 则问题是解,构造拉格朗日函数:,所以当 时 ,f 取得最大值,即,解,切平面 :,即,截距:,目标函数:,约束条件:,构造拉格朗日函数:,所以 , 可能的最值点为,