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将行列式展开,得关于 的n 次多项式:,() 称为A的特征多项式,一般()=0 的n个根都是A的特征值,对应于n个特征向量,且若x为 对应的特征向量,则kx也是 对应的特征向量(允许相差一常数k)。,当n不大时,如n4 解特征方程,可求出全部特征值(n 3较难),当 n较大(n5),计算量会增大得惊人,且不可能求得,准确结果,还可能出现不稳定,所以当n稍大一般不直接求解特征方程,而根据实际问题的需要,介绍相应的一些行之有效的数值解法:,3.1 幂法,像我们在范数,谱半径中知道的那样,有时只需求出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。,幂法是一种用来求解矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的迭代方法;先找初始向量x(0)反复乘以给定的方阵A,依次得x(1),x(2),直到满足精度为止,可从中分离出绝对值最大的特征值。,设n 阶矩阵A 有一个完全的特征向量组 , , , ; 它们分别对应于特征值 , , , ; 即:,假设特征值的排列次序是:,同时任取一非0向量 ,构造如下一向量序列:,假定i (i =1,2,,n)对应的特征向量x1, x2, xn线性无关,这组特征向量构成Rn中的一个基底,则任一非零向量可表为xi ( i= 1, 2 ,n)的线性组合,即存在n个不全为0的常数i ( i=1,2,n)使:,因此,当k 充分大时:,所以,当k 充分大时,两相邻迭代向量 和 近似地相差一个倍数,这个倍数便是矩阵A按模最大的特征值 。,所以,当k 充分大时,两相邻迭代向量 和 各个分量,也近似地相差一个倍数。,在实际计算时,由于k 不可能趋于无穷大,只能取某个相当大的值,这时,两相邻迭代向量的不同分量之比就不相同, 也不相同,此时可用 的平均值作为 的近似值。,所以,当k 充分大时, 即为对一对应于特征值 的特征向量。,综上所述,这种由任意给定的非0向量 和矩阵A 的乘幂 构造向量序列 用来计算A 的主特征值 及相应特征向量的方法称为幂法。,所谓主特征值,就是所有特征值中,按模最大的特征值。,注意:当 而k充分大时, 会随k的增大而无限增大或无限趋于0,这样上机计算时会产生溢出(上溢或下溢)的情况,为避免这种情形出现,实际计算时,每次迭代求得的向量V(k)要进行 归一化(规范化)处理:取V(k)中绝对值最大的一个分量除V(k) ,这样将V(k)的分量全部控制在-1,1 中,而1 是由相邻二次分量的比值所决定,因此不会受到影响。,因此, 幂法实际使用的公式及算法为:,即为所求的主特征值对应的特征向量。,所以, 绝对值最大的分量收敛到主特征值。,幂法计算步骤:,7. 若kN,置k+1 k, ,转3;否则,输出失败信息,停机。,3.计算 。;,5.计算 。;,例 1 用幂法求矩阵A 按模最大的特征值和特征向量,取x(0)=(0,0,1)T,要求误差不超过10-3 。,解 :由幂法使用步骤,如此继续下去,计算结果见下表,因为:,其对应的特征向量: 可与准确的特值值;1=3,2=2,3=1及1的特征向量(1, -1, 1 )T 相比较,再次说明:特征向量允许相差一常数。,说明 :幂法的收敛速度依赖于 ,比值越小,收敛越快,对上例,按准确的 值,比值 不是很小。 因此对 = 103 也迭代了9次,不算收敛快。,幂法的加速:原点移位法,所谓原点移位法是:以A-pI代替A,用乘幂法求得A-pI的最大特征值 1- p,则A的最大特征值1,其特征向量不变。 若x是A与对应的特征向量,即Ax= x, 则( A-pI )x = Ax-px= x-px=( -p)x,故x也是A-pI的特征向量。,适当地选取p满足 且 这样在用幂法求A-pI的最大特征值1-p时,收敛速度比对A用幂法要快。,3.2 雅可比方法,1. 先介绍一些预备知识和相关结论: (1)A为n阶实对称阵,则A有n 个实特征值,且有n个对应的正交的线性无关的特征向量。 Q为正交阵,则: Q QT = I,即QT = Q1,正交阵的乘积仍为正交阵。,(2)A,B为n阶方阵,方阵R可逆,A,B相似:存在可逆方阵 R 使,R1A R = B 。 相似矩阵的特征值相同,A,B相似,若A为对称阵,则 B也是对称阵。,(3)A为实对称阵,R为正交阵,则B=RTAR也是对称阵。 (4)对于n阶实对称阵A,一定存在正交阵R,使:,A与D相似, 为矩阵A 的全部特征值,而 的第j 个列向量 就是与 对应的特征向量。,因为:,问题1:为了求出对称矩阵A 的所有特征值,能不能通过一系列的正交初等变换,逐步地将A 化为对角阵?,问题2:如何构造正交矩阵 ?,(5)在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。,则:,Jacobi方法正是对上述两个问题的回答:通过一次正交变换,将A中的非零的非对角线元素化为零,使得非对角元素的平方和减少,反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零,从而使该矩阵近似为对角矩阵,得到全部特征值和特征向量。Jacobi法的关键,在于找到合适的正交阵R,为了说明这个问题,我们从最简单的情况开始。,2. 平面旋转变换,设在平面上有一条二次曲线:,可以通过坐标轴的旋转,化为标准形状:,如果把二次曲线方程写成矩阵形式,即为:,其中a12 = a21,则坐标轴旋转方程变为:,把此方程代入上方程,则:,则上式可简写为:,两个非对角线元素已化为零,容易验证R是一个正交矩阵,称上述变换是一个正交变换。通过正交变换,正交矩阵R把对称矩阵A变成为对角阵,而 1与,由此看出,对于二阶对称矩阵,用R 作一次正交变换,适当选择 ,就可以使A 对角化。,2即是矩阵的特征值。正交矩阵RT的两个列向量分别对应于1, 2的两个单位特征向量,即1所对应的特征向量为 ,2所对应的特征向量为,3. 假设 A 为n 阶实对称矩阵,经过正交变换后得:,同时假设矩阵 中非对角元素中,模最大元素为,1 . , 所以Rk(p,q) 为正交矩阵;,矩阵Rk(p,q) 中,对角线上元素除rpp=rqq=cos 外,其它皆为1,非对角线上元素除 -rqp=rpq=sin 外,其它皆为0,称Rk(p,q)为平面旋转阵。容易直接验证Rk(p,q)有如下性质:,2 如果A是对称阵,则 ,所以 是对称阵,就是说,对称阵经过正交变换以后,仍是对称阵.,3 矩阵A经过变换后,Ak-1中第p行,第q行及第p列、第q列元素的变化如下:,只有第p 列与第q 列改变,其余不变。, . 当 时,, . 当 时:,令,可以验证: 1) 即经过正交变换后,矩阵所有元素的平方和不变。,把sin和cos表达式代入上式,得:,由此看出,每进行一次正交变换,非对角线元素的平方和减少了 适 ,而对角线元素的平方和则增加了 , 而变换前后,矩阵元素总的平方和不变。,因此,每经过一次正交变换,非对角线元素总是向0 接近了一步!重复上述过程,可得A(k+1),如此继续下去,得到一个矩阵序列A(k)。可以证明,虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数单调增加,但可以保证非对角元的平方和递减。正是利用这一点,导出了Jacobi 方法。,通过一系列旋转相似变换将A变成A(k+1),求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。如果在对A作相似变换的过程中,每一步都选绝对值最大的非对角元素 ,以此确定旋转矩阵,这种方法称为古典Jacobi方法。,4. 正交变换终止的条件:,5. 求解特征向量,假设矩阵A 经过m 次正交变换后,迭代结束,则,令 ,则 仍为正交矩阵。,则 第j 列就是矩阵A与 相对应的标准正交特征向量。,在编程时,一般 令 ,. 在矩阵A 的非对角线元素中,选取一个绝对值取大的元素 。,. 由公式 求出 和 。, .由下面公式 , 得到矩阵 。, .由下面公式, 得到矩阵 。, .以 代替 ,以 代替 ,重复第、步,直到 矩阵 的非对角线元素小于所要求的误差限。, . 的对角线元素即为全部特征值的近似值,而 的第 j 列即为所 所对应的特征向量。,6. 雅可比方法的计算步骤 ( ) :,7. 两点说明,在实际计算中还可采用一些措施来提高精度和节省工作量: 1 减少舍入误差的影响。从公式中可知,具体计算时只需用到sin , cos的值,为了提高精度,舍入误差越小越好。常常利用三角函数之间的关系,写成便于计算的公式:,即得:,2 节省工作时间。在雅可比法中,每次变换是把非对角元绝对值最大者化为零,但在n阶矩阵中要去寻找这个最大元素要花较多的机器时间,所以一般不选最大元。改进的一种方法是设某些“关口”,如a1,a2,ak,先按次序用aij(ij,j =1,2,n)与a1比较,若 ,则通过不加运算,若 ,就进行一次旋转变换,使之化为0,一遍轮流过以后,再用a2来比较,作同样处理,直至达到所需精度为止,这种方法称为雅可比过关法。,重复上述过程。如此继续下去,可得:,所以A的特征值为:,
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