3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离【选题明细表】 知识点、方法题号点到直线的距离1,2,4,6两平行线间的距离3,5,9,10综合应用7,8,11,12,13基础巩固1.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是(B)(A)(B)2(C)6(D)2解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d=|-4|2=22.2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(D)(A)1 (B)-1 (C)2 (D)解析:由题意,得|a-1+1|12+(-1)2=1,即|a|=2,所以a=2.故选D.3.(2018四川绵阳市模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+ 5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(C)(A)95(B)(C)2910(D)解析:因为36=48-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=2910,所以|PQ|的最小值为2910.故选C.4.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是(A)(A)x+y-2=0 (B)x+y+1=0(C)x+y-1=0 (D)x+y+2=0解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b0,即x+y-b=0(b0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b0)的距离为=1,解得b=2(b=-2舍去),所以所求直线l的方程为x+y-2=0.5.(2018甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0, l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于(D)(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或48解析:将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由|10-c|62+82=3,解得c=-20或c=40.所以b+c=-12或48.故选D.6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于 .解析:因为A,B两点到直线l的距离相等,所以ABl或l过AB的中点,所以=-m或m+3+3=0,所以m=12或m=-6.答案:12或-67.一直线过点P(2,0),且点Q-2,433到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为 .解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90,当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,设过P点的直线为y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由d=-2k-433-2kk2+1=4,解得k=.所以直线的倾斜角为30.答案:90或308.过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.解:法一因为kAB=-4,线段AB的中点为(3,-1),所以过P(1,2)且与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0.此直线符合题意.过P(1,2)及线段AB的中点(3,-1)的直线方程为y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0.此直线也是所求.故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.法二显然这条直线斜率存在.设直线方程为y=kx+b,据条件有化简得k+b=2,k=-4或所以k=-4,b=6或k=-32,b=72.所以直线方程为y=-4x+6或y=-32x+72,即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.能力提升9.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(B)(A)0d3 (B)0d5(C)0d4 (D)3d5解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以00,且d9,所以=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)0,即0d3且d9.综合可知,所求d的变化范围为(0,3.法二如图所示,显然有0d|AB|.而|AB|=(6+3)2+(2+1)2=3.故所求的d的变化范围为(0,3.(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.而kAB=2-(-1)6-(-3)=13,所以所求直线的斜率均为-3.故所求的两条直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.4