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二次函数与幂函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。2.幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数的图象,了解它们的图象的变化情况【知识网络】基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数二次函数幂函数常数函数【考点梳理】考点一、初中学过的函数(一)函数的图象与性质常 函 数一次函数反比例函数二次函数表达式()()() ()式子中字母的含义及范围限定图象、及其与坐标轴的关系单 调 性要点诠释:1.过原点的直线的方程,图象,性质;2.函数的最高次项的系数能否为零。(二)二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式:一般式:(),顶点式:(),其中顶点为,对称轴为直线,零点式:(),其中是方程的根2. 二次函数()在区间上的最值:二次函数()在区间上的最大值为M,最小值为m,令. (1) (2) (3) (4)(1)若,则,;(2)若,则,;(3)若,则,;(4)若,则,.要点诠释:1二次函数的最值只可能在三处取得:两个区间端点以及顶点的函数值;2. 求二次函数的最值一般要数形结合。考点二、幂的运算 (1),;(2),。考点三、幂函数的图象与性质1.幂函数在第一象限的图象特征2.幂函数性质: (1),图象过(0,0)、(1,1),下凸递增,如;(2),图象过(0,0)、(1,1),上凸递增,如;(3),图象过(1,1),单调递减,且以两坐标轴为渐近线,如要点诠释:幂函数在第四象限没有图象,其它象限的图象可以由奇偶性确定。【典型例题】类型一:基本函数的解析式例1已知二次函数满足,且图像在轴上截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式.【解析】【方法一】设(),则,且对称轴,即, , 【方法二】,二次函数的图象的对称轴为,可设所求函数为(),截轴上的弦长为, 的图像过点和,即 (1)又的图像过点, (2)(1)(2)联立,解得,即.【方法三】的图象对称轴, 又,与轴的交点为和,故可设(),由可得 . ,即.【总结升华】二次函数的形式有以下三种:(1)一般形式:(),(2)顶点式(或称配方式)(),(3)零点式(或称双根式)(),(前提:有根)对一个具体二次函数,三种形式的系数都具有具体的意义,在分析具体问题时,要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算,简捷处理问题。举一反三:【变式】已知二次函数的对称轴为,截轴上的弦长为,且过点,求函数的解析式【答案】二次函数的对称轴为,可设所求函数为,又截轴上的弦长为,过点和,又过点,解得,即.类型二:函数的图象和性质例2. 下图是指数函数(1),(2),(3),(4)的图象,则、与1的大小关系是( )A.B. C.D.【解析】可先分两类,即(3)(4)的底数一定大于1,(1)(2)的底数小于1,然后再从(3)(4)中比较、的大小,从(1)(2)中比较、的大小.【答案】B【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答,但作为选择题更多地利用特殊点解决.举一反三:【变式】(1)下图的曲线是对数函数图象,已知的取值为10,2,0.6,0.25,则曲线对应的的值依次为 ;(2)如图是幂函数在第一象限内的图象,已知取,则曲线对应的的值依次为 ; 【答案】(1)依据对数函数的图象中的特殊点,如图,令,由图知点、的左右位置关系,有,相对应的曲线的值依次为2、10、0.25、0.6.(2)依据幂函数在第一象限内的图象特征,如图,令,由图知点、的上下位置关系,有,相对于曲线的依次为、.类型三:比较大小例3. 比较 , ,这三个数的大小关系【解析】比较式子的结构,依据其异同点选用不同的函数,结合函数的单调性或数形结合比较大小。【方法一】考察函数,由于该函数是单调递减函数,故 考察函数,由于该函数在第一象限是单调递增函数,故 , ,这三个数的大小关系是: 【方法一】考察函数,由于该函数是单调减函数,故考察函数与函数,根据指数函数图象的分布规律知,在第一象限时的图象位于的图象的上方,从而当自变量都取时,。 , ,这三个数的大小关系是: 【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。通常都是构想函数运用函数性质来解决,通常两个同指的幂式比较就构想幂函数,同底的就构想指数函数,若混合比较即插入对数式或底指皆不同的幂式就用搭桥的办法,常用搭桥的思路有选0或选1或根据具体情况构作。举一反三:【变式】(1)设,且(,),则与的大小关系是( ) A. B. C. D. (2) 若,则,从小到大依次为 ;【答案】(1)取,知选。 (2) ; 【方法一】由得,故.【方法二】令,可得,故.类型四:最值问题例4.求函数()的最值.【解析】令, 则,开口向上,对称轴 , , 即,时,;时,;时,;时,;时,.【总结升华】1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性,并数形结合解决之;2. 形如(,且)的函数,可以转化为二次函数,但应注意的取值范围.举一反三:【变式】已知,求的最值。【答案】由已知得,即,对称轴,当时,;当时,;当时,;当时,取得最小值;当时,取得最大值16.第8页 共8页
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