1,2 离散时间信号与系统的变换域分析,本章重点内容：序列的z变换、逆z变换的定义、性质及求解方法；序列的傅里叶变换的定义、性质及求解方法；拉普拉斯变换、z变换及序列的傅里叶变换之间的关系；线性时不变离散时间系统的变换域描述、系统频率响应的定性确定方法及系统的类型。,2,2.1 序列的z变换 2.2 逆z变换 2.3 z变换的性质和定理 2.4 序列的傅里叶变换 2.5 拉普拉斯变换、z变换、序列的傅里叶变换的关系 2.6线性时不变离散时间系统的变换域分析,3,2.1 序列的z变换,2.1.1 z变换的定义 2.1.2 z变换的收敛域,4,z变换的定义可以由离散时间信号直接给出，也可以由采样信号的拉普拉斯变换过渡到z变换。 z变换,2.1.1 z变换的定义,5,2.1.2 z变换的收敛域,z变换的定义式是无穷多项的累加求和，显然，只有当式收敛时才有意义。对于任意给定的序列 ，使其z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。我们将使 的分母为0，即 趋于无穷大的点称为极点，而将使 为0的点称为零点，将零极点画在z平面上得到的图形称为零极点分布图。显然收敛域中不包含极点。 按照级数理论，收敛的充要条件是满足绝对可和，即,6,2.1.2 z变换的收敛域,1有限长序列 这类序列只是在有限区间 之间时 的取值才不全为0，而在此区间之外序列值全为零，则其z变换变为 即为有限项之和，因此只要级数的每一项有限，级数就一定收敛。由于 的每个样点值都是有限的，所以只要 为有限值，有限长序列的z变换就能收敛。,7,2.1.2 z变换的收敛域,当 时(往往称为有限z平面)， 肯定是有限的，因此在这个区域内，有限长序列的z变换就一定收敛。但是 和 时 是否有限，还取决于 和 的取值情况，讨论如下： （1）当 时， 中取非零值时的序号均不小于零，则 中不存在z的正次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括 ，即收敛域为 ；,8,2.1.2 z变换的收敛域,（2）当 时， 中取非零值时的序号均不大于零，则 中不存在z的负次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括，即收敛域为 ； （3）当 而 时， 中既存在z的负次幂，也存在z的正次幂，因此 和 时 均可能无限，这时的收敛域不能包括 和 ，即收敛域为 。,9,2.1.2 z变换的收敛域,2右边序列 这类序列是指只在 时， 取值不全为零，在 时， 全为0，其z变换为 上式右边的第一项为有限长序列的z变换，按照上面的讨论，其收敛域为有限z平面。而第二项是z的非正幂级数，按级数收敛的阿贝尔(N.Abel)定理可知，存在一个收敛半径 ，级数在以原点为中心、 为半径的圆外任何点都收敛。,10,2.1.2 z变换的收敛域,综合两项的收敛域，当两项均收敛时整个级数才收敛。因此，如果 是收敛域的最小半径，则右边序列的z变换的收敛域为 如果 ，这类右边序列称为因果序列，这时 的z变换中不存在第一项，即级数中不包含z的正次幂，因此其收敛域包含 ，即 或 处z变换收敛是因果序列的特征，因果序列的z变换的收敛域包含 ，,11,2.1.2 z变换的收敛域,反之，如果一个序列z变换的收敛域包含 ，则该序列一定是因果序列。,12,2.1.2 z变换的收敛域,3左边序列 这类序列是指只在 时， 取值不全为零，在 时， 全为0，其z变换为 等式右边第二项是有限长序列的z变换，收敛域为有限z平面，第一项是z的正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径 ，级数在以原点为中心、 为半径的圆内任何一点都收敛。综合两项的收敛区域，左边序列的收敛区域为,13,2.1.2 z变换的收敛域,如果 ，则其z变换右端不存在第二项，即不存在z的负次幂，这样的序列称为反因果序列，其收敛域应包括 ，即,14,2.1.2 z变换的收敛域,4双边序列 这类序列是指为任意值时，即 时 均有不为零的值，可以把它看成是一个左边序列和一个右边序列之和，即 因此，该序列为左边序列和右边序列收敛域的公共部分，如果右边序列的收敛半径为 ，左边序列的收敛半径为 ，且满足 则双边序列存在公共收敛区域,15,2.1.2 z变换的收敛域,16,2.2 逆z变换,2.2.1 围线积分法(留数法) 2.2.2 部分分式展开法 2.2.3 长除法(幂级数展开法),17,2.2.1 围线积分法(留数法),利用柯西积分公式，可得的逆z变换公式如下： 式中 表示围线积分，C为在收敛域内逆时针环绕原点的一条闭合曲线。直接计算围线积分较麻烦，若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来求解。,18,2.2.1 围线积分法(留数法),根据留数定理，若被积函数 在围线C上连续，在围线C以内有K个极点 ，而在围线C以外有M个极点 (K、M均为有限值)，则有 (a) 及 (b) 其中 表示取留数。表明序列 等于 在围线C以内的所有留数的和，也等于围线C以外所有留数的和的负值。,19,2.2.1 围线积分法(留数法),这样利用留数定理，逆z变换的求解就变成了留数的计算问题，计算过程大为简化。下面讨论留数的求解方法。 设 是 的单重极点，则其留数为 如果 是 的多重(l阶)极点，则其留数为,20,2.2.2 部分分式展开法,在实际应用中， 一般是z的有理分式 则 可以展开成以下的部分分时展开式,21,2.2.2 部分分式展开法,其中 为 的一个r阶极点，各个 是 的单极点， 是 的整式部分的系数，当 时存在 ( 时仅有 项)， 时，各个 ， 可用长除法求得。,22,2.2.2 部分分式展开法,根据留数定理，系数可用下式求得 系数可由下式求得 展开式的系数确定后，根据收敛域的不同，再分别求出式(2-11)右边各项的逆z变换(可以利用表2-1中的基本z变换对的结果)，原序列就是各个序列之和。,23,2.2.2 部分分式展开法,用部分分式法求z变换时，较方便的方法是把 转换成z的正幂次表示式，再求 (单极点时)或 (r重极点时)部分分式展开的各项系数。,24,2.2.3 长除法(幂级数展开法),因为 的z变换定义为z的幂级数，所以，只要在给定的收敛域内把 展开成幂级数，则级数的系数就是序列 。 在利用长除法求逆z变换时，同样要根据收敛域判断序列 的性质，然后再展开成相应的z的幂级数。当 的收敛域为 时， 为右边序列，此时应将 展开成z的负幂级数，因此 分子分母应按z的降幂排列进行长除；如果 的收敛域为 时， 为左边序列，此时应将 展开成z的正幂级数，因此 分子分母应按z的升幂排列进行长除。,25,2.3 z变换的性质和定理,1线性性 z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列 和 的z变换是 和 ，即 则 其中a，b为任意常数。相加后z变换的收敛域为两个序列z变换收敛域的重叠部分。如果线性组合后某些极点和零点相互抵消，则收敛域可能扩大。,26,2.3 z变换的性质和定理,2序列的移位 如果序列 的z变换为 则有 式中n0为任意整数，可以为正(右移)，也可以为负(左移)。,27,2.3 z变换的性质和定理,3序列乘指数序列(z域尺度变换) 若序列 乘以指数序列 ，a是常数，若 则,28,2.3 z变换的性质和定理,4序列的反转 若 则,29,2.3 z变换的性质和定理,5序列的共轭 一个复序列 的共轭序列为 ，若 则,30,2.3 z变换的性质和定理,6序列的线性加权(z域微分) 若已知 则,31,2.3 z变换的性质和定理,7初值定理 对于因果序列 ，有,32,2.3 z变换的性质和定理,8终值定理 如果 为因果序列，且 的极点处于单位圆( )以内(单位圆上最多在 处可有一阶极点)，则,33,2.3 z变换的性质和定理,9时域卷积定理 若 则,34,2.3 z变换的性质和定理,时域卷积定理是z变换的重要定理，由第一章可知，系统的输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积，利用卷积定理，可通过求解 的逆z变换而求出输出序列。根据相关和卷积之间的关系，可以很容易的得出时域相关的z变换,35,2.3 z变换的性质和定理,10序列相乘(z域复卷积定理) 若 且 则 其中C是v平面上 与 公共收敛域中绕原点逆时针旋转的闭合曲线。,36,2.4 序列的傅里叶变换,2.4.1 序列的傅里叶变换的定义 2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质 2.4.3 序列的傅里叶变换举例,37,2.4.1 序列的傅里叶变换的定义,序列的傅里叶变换定义为 注意，它是的连续函数，这也是我们在第三章将要介绍离散傅里叶变换的原因。 由于有 其中M为整数。所以有 因此，序列的傅里叶变换 是周期函数，周期为2。序列的傅里叶变换是序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到。,38,2.4.1 序列的傅里叶变换的定义,比较序列的傅里叶变换的定义式与z变换的定义式可知，序列的傅里叶变换是z变换在时的特殊情况，故有 一般为的复变函数，可表示为 其中 、 分别为 的实部和虚部， 通常称为幅频特性或幅度谱， 而称为相位谱，且有 它们都是的连续函数和周期为2的周期函数。,39,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,1线性性 若 ， ，a，b为任意常数，则有,40,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,2序列的时移 若 ，则 即时域的移位对应于频域的相移。,41,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,3序列乘指数序列 若 ，则,42,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,4序列乘复指数序列(调制) 若 ，则 即时域的调制对应于频域的移位。,43,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,5序列的线性加权 若 ，则 时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j。,44,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,6序列的反转 若 ，则 时域的反转对应于频域的反转。,45,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,7序列的共轭 若 ，则 时域的共轭对应于频域的共轭且反转。 以上性质的证明与z变换对应的性质的证明方法类似，请读者自行证明。,46,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,8时域卷积定理 若 ， ，则 即时域的卷积对应于频域的乘积。,47,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,9频域卷积定理 若 ， ，则 即时域的相乘对应于频域的卷积并除以2。,48,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,10帕塞瓦尔(Parseval)定理 若 ，则 时域的总能量等于频域的总能量，即能量守恒定理。,49,2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质,11对称性质 若序列 满足 则称序列 为共轭对称序列。对应地，若序列