专题2 导数的综合应用 刷难题 1. 已知是自然对数的底数，。 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当，时，求证：。 答案（1）因为，所以，。 3分 所以曲线在点处的切线方程为，即。 6分 （2）设，则。 8分 设，则。因为，所以，。所以在内单调递增。所以当时，即。 10分 因为，所以。所以当时，在内单调递增。所以当，时，即。 12分 解析:本题主要考查导数的计算，导数在研究函数中的应用。 （1）因为曲线在点处的导数即为切线的斜率，求出的导数，结合题中条件，即可求得切线方程； （2）令，对二次求导，结合题中所给条件“，”，即可证得结论。 2. 已知函数 , 的图象在 处的切线方程为 (1)求实数a,b的值; (2)若存在 ,使 恒成立,求k的最大值. 解:(1)f(x),f(1),根据题意得f(1)=3, 又,综上:, (2)(x),设, ,g(x), ,; ,是减函数; ,是增函数; , 又, , , 恒成立, 所以 又,所以 3. 已知函数.()讨论的单调性; ()若有两个极值点,证明:. 解:(1), 不妨设, 则关于x的方程的判别式, 当时,故, 函数在上单调递减, 当时,方程有两个不相等的正根, 不妨设,则当及时, 当时, 在,递减,在递增; (2)由(1)知当且仅当时有极小值 和极大值, 且,是方程的两个正根,则, , , 令, 当时,在内单调递减, 故,. 解析:(1)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定导函数的符号,从而判断函数的单调性; (2)表示出,通过求导进行证明. 4.已知函数 （1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有 答案（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值 （2）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 （3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，从而得到证明 解析（1）函数， 由f（x）0x0；由f（x）0-1x0； f（x）的单调增区间（0，+），单调减区间（-1，0） （2），当x=1时，y=得切线的斜率为，所以k=； 所以曲线在点（1，f（1）处的切线方程为： y-ln2+=（x-1），即x-4y+4ln2-3=0 故切线方程为 x-4y+4ln2-3=0 （3）所证不等式等价为 而，设t=x+1，则， 由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增， 由此F（t）min=F（1）=0， 所以F（t）F（1）=0即， 记代入得：得证 5已知函数. (1)讨论的单调性;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数). 解:(), 当时,的单调增区间为,单调减区间为; 当时,的单调增区间为,单调减区间为; ()令,则, 若,即,在上是增函数, ,无解. 若,即, 在上是减函数;在上是增函数, ,即. ,即,. 若,即,在上是减函数, ,即, 综上所述,. 解析:(1)先求导,再分类讨论即可得到函数的单调性; (2)令,从而求导,再由导数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可. 6. 已知函数 (1)讨论函数 的单调性; (2)当 有极大值与极小值时,求证函数 在定义域内有唯一的零点. 解:(1)根据题意得,f(x), 由f(x)=0,得, 当,即,令f(x),又,可得或; 令f(x),可得, 函数的单调增区间是和,单调减区间是; 当,即时,f(x),当且仅当时,f(x)=0, 函数在区间上是单调增函数; 当,即时,令f(x),又,可得或; 令f(x),可得 函数的单调增区间是和,单调减区间是; 当,即时,令f(x),计算得出:,令f(x),计算得出:, 在递减,在递增. (2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或, 当时,函数的单调增区间是和,单调减区间是, 若,无零点, 若,则, ,有一个零点, 则当时,有唯一的零点, 当函数的单调增区间是和,单调减区间是; 若, 有,则,则,即在内无零点, 若,则,即在有一个零点, 则当时,有唯一的零点, 综上所述函数在定义域内有唯一的零点 解析(1)求导函数,求出函数的零点,再进行分类讨论,从而可确定函数的单调性与单调区间. (2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或,根据函数零点定理验证即可.