两个变量的线性相关 教学目标【知识与技能】（1）了解线性回归的意义，了解最小二乘法思想；（2）会求回归直线方程。【过程与方法】经历描述两个变量的相关关系的过程，了解最小二乘法的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。【情感态度与价值观】通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于 教学重难点生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。【教学重点】会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系。【教学难点】会求回归直线的方程。 教学过程（一）新课导入 （1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系。（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系。（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系（二）新课讲授1、回归直线（1）回归直线的定义： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线（2）回归直线的特征：如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性。就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。2、回归直线方程定义：一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点（xi,yi）（i1，2，n）大致分布在一条直线附近，求在整体上与这n个最接近的一条直线。设此直线方程为 这里在y的上方加记号“”，是为了区分实际值y，表示当x取值xi（i1，2，n）时，y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是,叫做y对x的回归直线方程，a、b叫做回归系数。注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系。问题在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？答：整体上最接近。选择能反映直线变化的两个点。思考2：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，设其回归方程为bxa，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？答：可以用|yii|或(yii)2，其中ibxia。(如图)思考3：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？答：Q(yii)2(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2。小结：根据有关数学原理分析，当， 时，总体偏差Q(yii)2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。思考4：回归方程中，的几何意义分别是什么？答：是回归方程的斜率，是截距。思考5：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程0.577x0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值。若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？答：将x37代入方程0.577x0.448，得0.577370.44820.901。所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%。（三）例题探究例有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2，预测这天卖出的热饮杯数。解(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数。利用计算器容易求得回归方程2.352x147.767。(4)当x2时，143.063。因此，某天的气温为2时，这天大约可以卖出143杯热饮。反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的计算顺序：计算平均数，；计算xi与yi的积，求xiyi；计算x；将结果代入公式求；用求；写出回归直线方程。思考6气温为2时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？答小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：(1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差。(2)即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近。我们不能保证点(x，y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近。跟踪训练下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料。机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出回归直线方程。解(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图。直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系。(2)计算相应的数据之和：i1 031，i71.6，137 835，iyi9 611.7。将它们代入公式计算得0.077 4，1.024 9，所以，所求回归方程为0.077 4x1.024 9。（四）课堂检测1.观察下列散点图，则正相关；负相关；不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 a,c,b。 2设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg答案：D解析：当x170时，0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 kg.3某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程x中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元 B65.5万元C67.7万元 D72.0万元答案：B解析：由题意可知3.5，42，则429.43.5，9.1，9.469.165.5，答案应选B。4四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且 2.347x6.423；y与x负相关且 3.476x5.648；y与x正相关且 5.437x8.493；y与x正相关且 4.326x4.578。其中一定不正确的结论的序号是()A B C D答案：D解析：回归方程中x的系数为正，不是负相关；方程中的x的系数为负，不是正相关，一定不正确。（五）课堂总结1判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图。根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关。2求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。(2)用公式计算、的值时，要先算出，然后才能算出。3利用回归方程，我们可以进行估计和预测若回归直线方程为，则xx0处的估计值为 教学反思略。