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认识无理数 九江三中 耿文勇 教材分析实数是进一步学习数学的基础,数的发展和数系的扩张都源于实际,本章从实际问题出发,引入无理数与实数的有关概念,无理数是进一步认识实数的基础,学好无理数为后来的实数、平方根的学习奠定基础。 教学目标【知识与能力目标】1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。2.能判断给出的数是否为有理数;并能说出理由。【过程与方法目标】1.让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神。2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力。【情感态度价值观目标】1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情。2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神。3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神。 教学重难点【教学重点】1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数。2.会判断一个数是否为有理数。【教学难点】1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。2.判断一个数是否为有理数。 课前准备 有两个边长为1的正方形,剪刀。 教学过程一、创设问题情境,引入新课:师同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?生在小学我们学过自然数、小数、分数。生在初一我们还学过负数。师对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题。二、讲授新课1.问题的提出师请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?生好。(学生非常高兴地投入活动中)。师经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下。同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师。师现在我们一齐把大家的做法总结一下:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢?生甲a是正方形的边长,所以a肯定是正数。生乙因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a2=2。生丙由a2=2可判断a应是1点几。师大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分数吗?请大家分组讨论后回答。生甲我们组的结论是:因为12=1,22=4,32=9,整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数。生乙因为,两个相同因数的乘积都为分数,所以a不可能是分数。师经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了。二、做一做:(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?(3)b是有理数吗?师请大家先回忆一下勾股定理的内容。生在直角三角形中,若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2。师在这个题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b是有理数吗?请举手回答。生甲因为22=4,32=9,459,所以b不可能是整数。生乙没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数。生丙因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数。师大家分析得很准确,像上面讨论的数a,b都不是有理数,而是另一类数无理数。关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的。早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可用有理数去描述。后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数。我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神。三、课堂练习(一)课本P25随堂练习如图,正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗?可能是分数吗?解:由正三角形的性质可知BD=1,在RtABD中,由勾股定理得h2=3。h不可能是整数,也不可能是分数。四、课时小结1.通过拼图活动,让学生感受有理数又不够用了,经历无理数产生的实际背景和引入的必要性。2.能判断一个数是否为有理数。五、课后作业课本P49习题2.1。解:设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a,得a2=32+22,a2=13。a不可能是整数,也不可能是分数。.活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。解:如图,AB=2,BE=1,AB、BE是有理数。AD2=AB2+BD2=22+32=13,AC2112。AE2=AB2+BE2=22+12=5。AC、AD、AE既不是整数,也不是分数,所以不是有理数。 教学反思略。
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