第3章 解线性方程组的直接方法,3.1 Gauss消去法,一、Gauss消去法,3.1 Gauss消去法,二、主元素消去法 1. 列主元消去法,定理2 n阶矩阵A非奇异，则可用列主元Gauss消去 法求解方程组Ax=b。,2. 全主元消去法,3. 偏差校验 4. 列主元高斯消去法算法,5. 运算量,46页 1 (3)、(4):,3.1 Gauss消去法,三、Gauss消去法的矩阵形式,以下矩阵是否有Doolittle分解？若有是否唯一？,3.2 三角分解法,一、Doolittle分解,44页4.(1),二、追赶法,3.3 Gauss-Jordan消去法,(3) 三角不等式：,(2) 齐次性：,3.4 方程组的性态,一、向量与矩阵的范数,设x=(x1,x2,xn)T,(2) 2-范数：,(3)-范数：,(1) 1-范数：,x=(3,-12,0,-4)T,c10，c20，使得,定义2 线性空间W上定义了两种范数,和,，若存在常数,则称 和 是W上等价的范数。,定义3,(1) ,等号当且仅当A=0时成立,(2),(3),(4),(1) 行范数：,A=,从属的矩阵范数一定与其对应的向量范数相容。,二、方程组的性态,定义6 非奇异， 为一种从属矩阵范数，,称为A的条件数。,二、方程组的性态,坡度阵,三、病态方程组的判断与求解,1. 判断,(1)系数阵元素数量级相差很大且无规律,(2)系数阵某些行（或列）近似线性相关,(3)与预期解相差较远,(4)小扰动导致解变化很大,三、病态方程组的判断与求解,2. 求解,(1)高精度计算,(2)更加稳定的算法,(3)平衡措施,(4)迭代改善计算解,