凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 1 页 共 4 页考研数学概率与统计公式总结之二维随机变量离散型 如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件 = 的概率为 pij,称为 =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YX y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 这里 pij 具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）（1）联合分布连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即D=(X,Y)|a有则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;（2）（2）二维随机变量的本质（3）联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：（1）（2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 2 页 共 4 页当 x2x1 时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1 时，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系离散型 X 的边缘分布为；Y 的边缘分布为。（5）边缘分布连续型 X 的边缘分布密度为Y 的边缘分布密度为离散型 在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为（6）条件分布连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布 0（7）独立性随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn ）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X ，Y ）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 3 页 共 4 页例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1D1O 1 x图 3.1yD211O 2 x图 3.2yD3dcO a b x 图 3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是 5 个参数，则称（X， Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（但是若 XN（ ，(X，Y) 未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y 根据定义计算：对于连续型，fZ(z) 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 4 页 共 4 页Z=max,min(X1,X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布 设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布，记为W ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为Tt(n) 。F 分布 设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为 Ff(n1, n2).