轻松学统计（3）作者：张忠朴1.学以致用 第三次上课的进度是统计的推定，以前作菜鸟老师时，一上课一定先正经八百的在黑板上先写下这五个字，这是什么东东？学生暗自滴咕，这一滴咕教室的气氛马上凉了一半，等到学生们的学习热情被浇熄之后，才再来冷灶热烧，那就累了。 教书教久了，才体会到一上课最好先把场子炒热，这样教到主题才会事半功倍，所以先丢个可以暖场的问题给他们。 你们知不知道在美国统计专家密度最高的城市是那一个？ ?!大家既有兴趣却又茫然。 猜猜看嘛！试着再鼓励他们 老师，可不可以给一点提示？又开始讨价还价了。 好，那个城市在沙漠之中，虽然不大但国际驰名 是不是拉斯维加斯？马上有人兴奋抢答。 答对了，但是为什么那个鸟不生蛋的地方会吸引一票统计专家呢？ 是不是和赌有关？ 对！但是赌和统计有什么关系呢？ 如果能设计一种游戏让大家都认为自己很容易赢，那就会吸引一票傻蛋。 没错，那些在赌城的统计专家，其实就是专门帮赌场设计那些表面看起来吸引力十足，但事实上庄家最后必赢的游戏，由此可见统计并不只是艰深的理论，它更可以应用在生活之中，所以今天就让我们来想一想如何将统计用在工厂之中好吗？ 好！大家都显得兴奋莫名，这十足表现了中国人见赌心喜的本性。 那你们认为在工厂中会赌那些事呢？ 赌“席芭啦”！这个回答马上引起全班哄堂大笑。 赌“席芭啦”，你疯啦！工厂不但不感激你还会开除你，如果你不想被开除那么还是趁早赌点正经的。 再逼着刚才那位捣蛋鬼把聪明用上正途，他把手上的原子笔当作竹蜻蜒转了两圈之后，若有所悟 在生管单位决定发料数量时，他们是不是会先赌一下这批产品的良品率？ 没错，这是正经赌法之一，但是统计还有没有其它的用途呢？同学又陷入了沈思，沉思后有人灵光一闪 老师，会不会有的公司要赌一下产品出厂后的平均使用寿命，以免将来客户抱怨连连？ 太棒了，这件事不但要赌，而且还要算的非常精确，不然很可能就会大祸临头，归纳刚才两位同学的想法，我们可以发现一个共同点，那就是他们都在想一个如何用统计来作预测的问题，这种用统计来作预测的问题，术语就叫做“推定”(Estimation)。2.未卜先知 在统计应用上，推定占了一席非常重要的地位，尤其像在订货生产的公司，如果生管无法推定出报废率来作发料宽放的依据，那么不是会造成无效良品的麻烦，就是会搞出数量不足延误出货的飞机，前者会造成资金的浪费，后者会引起客户的抱怨，都很糟糕的事，为了不要将来倒霉，所以让我们现在就来学推定好不好？ 好！学生的眼睛慢慢亮了起来，但是我却反而不想马上让他们如愿以偿，因为Easy Coming， Easy Go本来就是教学大忌。所以决定先拿一个问题来钓他们 请问推定和凭空瞎猜有什么不同？ 凭空瞎猜可以毫无根据，但是推定可能需要严谨一点 请问您说严谨是什么意思？ 就是说推定的值要先有一些根据 你的意思是不是说，被推定的未知状况必须要先根据一些看得见的己知结果而来？ 对！我就是这种想法 好极了，刚才这位同学的想法其实就是推定的起点，任何推定都必须先根据一些样本的数据来作推衍的基础，我们不妨先来看一个例子 某公司希望能预测其产品厚度之范围，试问应如何下手？及考虑那些因素？假设已量测25个成品，其厚度分别为（单位：mm）： 53 48545148 5246505149 4755525347 5150504852 5048524947 参考此数据在若95%的把握下，请问该公司成品平均厚度在何范围内？现在我们有了25组数据，那么请问下一步我们该怎么办？ 计算他们已很清楚的了解统计就是数据透过计算产生出有意的情报。 没错，此例经过计算之后我们得到= 50.12 = 2.403 接下来下一步该怎么辨呢？ 老师，下一步是不是就要回答95%的产品厚度范围有多宽了？ 没错，但是这该如何推测 老师，如果您能够告诉我们95%的产品被含盖在几个之内，我们就可以推测出它的范围 利害！利害！这个学生不但学会了用反问法来脱身这一招，而且反问的还是一个命中要害的问题，但是老姜当然自有辣法，所以仍要四两拨千金一下 这位同学的想法的确很高明，他的想法是机率和多少个之间一定会有关系，而且彼此一定可以换算，这个想法其实就是常态分配机率论的基础，因此现在让我们来看一下常态分配机率表(如附表一)，这个表的纵轴是到小数点第一位的个数值，横轴则是小数点第二位的个数值，而表内的数字就是图中斜线区的机率，现在请大家一起来想一想95%的产品应含盖在多少个之内？ 同学们纷纷努力思索，个个都想拔头筹，结果居然还是刚才反问我的学生找到了答案。 老师，是1.96个他与奋的大叫。 没错，但是您是如何找到的呢？ 老师，我先算出斜线的机率是2.5%也就是0.025，然后我就查表. 等一下我先打断他的话，能不能请你先说明一下0.025的来龙去脉？ 老师，因为这个题目要预测的范围95%，而斜线区正代表此范围之外的机率，因此两边斜线区加起来的机率应该是5%(100% - 95%)，而如果我们假设左右斜线区各占一半，那么单一斜线区的机率，就是2.5%也就是0.025 很好，然后呢？ 然后我就先在常态分配机率表中找到0.025这个数字。从这个数字往左看对应的纵轴数字是1.9，而往上对应的横轴数字是6.0，参考老师刚才的说明，我就得到了1.96个的答案。 他一面说明，其它的同学纷纷点头，看到这种感人的场景，我不禁明白其实在学习中导引学生领悟，反而比口沫横飞的填鸭法还更有效呢！ 看到学生都若有所悟，这时该给他们更大的成就感，既然，大家都已明白95%的产品是被含盖在1.96个之内，所以我们现在可以更确实地回答原来的问题了吗？ 老师，95%产品的平均厚度会落在 50.12 1.96x2.403 之间大家几乎是异口同声地回答了这个在15分钟之前还摸不着头绪的问题，这真是学习的一大兴趣。 3.康庄大道 用实例可以帮助我们走过前人推理的思维过程，但是实例仍然有它的限制性，因此若要能举一反三触类旁通，那就必须在大家明白实例之后，再将其中的精华从表象中抽离出来(这就所谓的抽象)，成为一种可以反复运用的模型，因此，必须利用学生破解例子后兴高彩烈的时刻，顺便将他们带入推定的理论模型。 同学们，你们希望将来无论遇到任何统计推定的问题时都能迎刃而解吗？ 希望兴奋的响应。 那我们来重新整理一下刚才的过程好吗？ 好！ 请回想一下，刚才这个过程和我们的第一节统计课有什么关系？ 老师，整个讨论好象还是延着IPO 的过程在进行嘛！一位平常蛮沈默的同学倒先发言了。 好极了，这是正确的观察，于是又在黑板上画出了。 IPO程序图，只是比以前又多加上三个空的框框 然后，反身问同学 你们猜老师刚才多加的框框内该填什么？ 老师，答对了有没有奖品？教室气氛一好，同学居然会开始撒娇了。 跟我来这套！当然有奖品啊！答对的，下课时，可以先来擦黑板。吐嘈回去，反而逗得全班同学大乐。 请问您还要不要先抢答？ 老师，如果擦黑板是奖品，那擦黑板也没有关系，我猜第一个框框内应该填“样本值”也就是刚才那个例子中的25个样本的厚度值。 答对了，请大家给这位自告奋勇擦黑板的同学掌声鼓励好不好？热烈的掌声让那位同学好不得意。 那么第二个框框内该填什么呢？ 马上有同学举手，我故意逗他你也想来擦黑板啊？他嘿嘿傻笑，真是老实的可爱，于是帮他解围 好，那请你先告诉大家你认为第二个框框内该填什么？ 该填统计量就是和连回答都很老实。 又答对了！这时同学的掌声己自动响起，真是一群会互相鼓励的学生。 那第三个框框该填什么呢？这个问题似乎让有些同学很为难，看到他们痛苦的表情，不免又大动侧隐之心，于是说：老师也想擦黑板，所以最后一个框框可不可以由老师替大家来回答？ 老师，没有关系，你替我答，我替你擦黑板一位同学马上很阿莎力的响应。 好，那我们一言为定，第三个框框请填“推定结论”也可直接写成“95%的产品厚度在1.96的范围内”顺便我又在黑板的另一边写下“推定的步骤”五个大字，然后转身告诉同学 刚才三个框框的推理过程其实就是统计推定的步骤。 然后我转身在黑板上写上： 步骤1. 随机抽取样本 步骤2. 计算统计量(，) 步骤3. 作出推定结论，下结论时可再细分成两步骤 步骤3A.决定信赖水准(Level of Confidence ,此例为95%) 步骤3B.决定信赖区间(Confidence interval ,此例即为1.96) 请各位记得这几个步骤，那么将来无论你们遇到什么推定的问题都可以很容易地迎刃而解了 由于各位上课很认真尤其又肯热烈参与讨论，所以我再送各位一套锦囊，好不好？ 老师，那我也替你来擦黑板严肃的班长居然也学会幽默了，这下非倾囊相授不可，打开投影机，影幕上出现了 常用信赖区间与个数对照表 信赖水准 含盖个数 信赖区间 90%1.6451.645 95%1.961.96 99%2.5752.575 99.73% 33 这张表其实就是从刚才的常态分配机率表上整理出来的，如果将来各位碰上一些特殊的信赖水准，只要回去查表也一定会得到答案的。 4.精益求精 虽然下课时间快到了，但是看着他们眼眸中的热情，我就舍不得不再多教他们一点，使他们能真正成为善用推定的高手。 同学们，统计的推定好不好玩啊？ 粉好玩！居然有人学董月花。 粉好玩的事有时候反而粉危险，其中最大的危险就是说不定您的推定会贡姑，换句话说实际结果与您的推定可能会有很大的出入，请各位想想看，为什么会出现这种状况？ 老师，会不会是样本有问题？ 你认为样本可能会出现什么问题？ 会不会所谓的样本其实不太具有代表性？ 能不能举例说明？ 譬如样本是工程师在实验室作出来的，而将来实际大量生产的产品却是由生产线上的作业员生产的，这两者之间有许多不同，不知道这是不是就会造成推定贡姑？ 太好了，这位同学的想法正是推定步骤1在样本抽取上的大忌，像刚才他举的例子，如果我们要推定一般的量产能力，结果却选取了工程师的特制产品来作样本，这种样本就叫做偏差样本（Biased Sample），用已有偏差的样本来作推定，那当然会缪以千里了 老师，那我们该怎么办？ 最具体可行的办法，就是随机抽样（Random Sampling），换言