第五节 函数的微分与应用,一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、微分在近似计算中的应用,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,三、可微的条件,定理,证：,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例5,解,例4,解,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,七、微分在近似计算中的应用,计算函数增量的近似值,计算函数的近似值,误差估计-留作自学,1、计算函数增量的近似值,例1,解,2、计算函数的近似值,例1,解,常用近似公式,证明,例2,解,3、误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,例3,解,小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,近似计算的基本公式,作业,P122 习题2-5 3(3)(5)(8)，6，7(1). P124 总习题二 2，5(2)，6，7(4)，10，11(2)，13.,