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www.ks5u.com广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化代数形式,再根据对应的点在第三象限列不等式,解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.2.己知集合A=,则A. x|x2或x6B. x|x2或x6C. x|x0,n0)上,则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标,再根据基本不等式求最值.【详解】设,则或,即或因为在上,所以,即,从而,当且仅当时取等号,即的最小值为,选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.10.函数 的部分图像如图所示,先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则函数的图像的一条对称轴为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据图象求,再根据图象变换得,最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得,从而,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.11.已知点在直线上,点在直线上,的中点为,且,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线,再根据,得轨迹为一条线段,最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上,点在直线上,所以M在直线上,即,因为,所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围,考查基本分析求解能力,属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为,则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设切点B,再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心,为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为,所以,选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查综合分析求解能力,属难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.若e1,e2是夹角为60的两个单位向量,向量a=2e1+e2,则|a|= _【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为,所以.【点睛】本题考查利用向量数量积求模,考查基本分析求解能力,属基本题.14.若的展开式中的系数是80,则实数的值是_.【答案】2【解析】解:因为展开式的的系数为80,则说明,故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是,共中,是的内角,的对边为.若,且,1,成等差数列,则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为,所以,因此,因为,1,成等差数列,所以+=2,因此,即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.16.有一个底面半径为,轴截面为正三角形的圆锥纸盒,在该纸盒内放一个棱长均为的四面体,并且四面体在纸盒内可以任意转动,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径,再根据取最大值时,四面体外接球恰为圆锥内切球,解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时,正四面体外接球恰为圆锥内切球,所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤,第1721题为必考题,每个试题考生都必须做答第22、23题为选考题,考生根据要求做答(一)必考题:共60分17.己知an是递增的等比数列,a2+a3 =4,ala4=3 (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)列方程组解得公比与首项即可,(2)利用错位相减法求和.【详解】(1)设等比数列公比为,因为,所以 解得 或 因为是递增的等比数列,所以, 所以数列的通项公式为 解法2:(1)设等比数列的公比为,因为,所以,是方程的两个根解得或因为是递增的等比数列,所以,则所以数列的通项公式为(2)由(1)知 则, 在式两边同时乘以得, -得,即, 所以【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表:根据上表的数据得到如下的散点图 (1)根据上表中的样本数据及其散点图: (i)求; (ii)计算样本相关系数(精确到0.01),并刻画它们的相关程度 (2)若y关于x的线性回归方程为,求的值(精确到0.01),并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。附:参考数据: 参考公式:相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】(1)(i)()可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强; (2)根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%.【解析】【分析】(1)(i)根据平均数公式求解()先根据公式求,再作判断,(2)根据求,将代入线性回归方程得估计值.【详解】(1)根据上表中的样本数据及其散点图:()() 因为,所以 由样本相关系数,可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 (2)因为回归方程为,即所以【或利用 】所以关于的线性回归方程为将代入线性回归方程得 所以根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%【点睛】本题考查平均值以及线性回归方程,考查基本分析求解能力,属基础题.19.如图,在四棱锥中,底面为菱形,且.(1)求证:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析; (2).【解析】分析】(1)先根据计算得线线线线垂直,再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论,(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角.【详解】(1)证明:取中点,连结,因为底面为菱形,所以 因为为的中点,所以 在中, 为的中点,所以设,则,因为,所以 在中,为的中点,所以在 和 中,因为,所以 所以所以 因为,平面,平面,所以平面因为平面,所以平面平面 (2)因为,平面,平面,所以平面所以 由(1)得,所以,所在的直线两两互相垂直以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系 设,则, 所以,设平面的法向量为,则 令,则,所以 设平面的法向量为,则 令,则,所以设二面角为,由于为锐角,所以 所以二面角的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.20.在平面直角坐标系中,动点分别与两个定点,的连线的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与轨迹交于,两点,判断直线与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由.【答案】(1) ; (2)相离.【解析】【分析】(1)根据直接法求轨迹方程,(2)先用坐标表示以线段为直径的圆方程,再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】(1)设动点的坐标为,因为 , , 所以,整理得 所以动点的轨迹的方程 (2)过点的直线为轴时,显然不合题意 所以可设过点的直线方程为, 设直线与轨迹的交点坐标为 ,由得 因为,
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