第七节函数的图象A组基础题组1.为了得到函数y=lg x+310的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度答案C由y=lgx+310得y=lg(x+3)-1,把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度,得函数y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=lg(x+3)-1的图象.故选C.2.(2017北京西城一模)函数f(x)=12x-log2x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案Bf(x)=12x-log2x的零点个数就是函数y=12x与y=log2x的图象的交点个数.如图:由图知函数f(x)的零点个数为1.故选B.3.函数y=xln|x|x|的图象可能是()答案B易知函数y=xln|x|x|为奇函数,故排除A、C,当x0时,y=ln x,只有B项符合,故选B.4.下列y=f(x)的函数图象中,满足f14f(3)f(2)的只可能是()答案D因为f14f(3)f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中, f14f(0),所以f140且b1)的图象如图所示,那么函数y=logb(x-a)的图象可能是()答案C由y=a+sin(bx)的图象可得a1,且最小正周期T=2b2,所以y=logb(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=logb(2-a)0,排除D,故选C.6.(2015北京朝阳期末,7)已知定义在R上的函数f(x)=x(|x|+1),x1,2x-2,x1,若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.0,2)C.(0,2D.1,2答案B由题意得f(x)=-x2+x,x0,x2+x,0x0,|x+3|,-4x0且a1).若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,4)C.(0,1)(1, +)D.(0,1)(1,4)答案D因为函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,所以y=logax(x0)的图象与y=|x+3|(-4x0)关于y轴对称的图象有且仅有1个交点.由图可知,a(0,1)(1,4).所以选D.8.设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0的解集为.答案(-1,0)(0,1)解析因为f(x)为奇函数,所以不等式 f(x)-f(-x)x0可化为 f(x)x0,即xf(x)0, f(x)的大致图象如图所示,所以xf(x)1,loga21,解得1a2.10.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求集合M=m|方程f(x)=m有四个不相等的实根.解析f(x)=(x-2)2-1,x(-,13,+),-(x-2)2+1,x(1,3).作出函数图象如图.(1)函数的增区间为1,2,3,+);函数的减区间为(-,1),(2,3).(2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知0m1,M=m|0m1.11.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2上为减函数,求实数a的取值范围.解析(1)设f(x)图象上任一点的坐标为(x,y),则点(x,y)关于点A(0, 1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上,2-y=-x+1-x+2,即y=x+,f(x)= x+.(2)g(x)=f(x)+ =x+a+1x,则g(x)=1-a+1x2.g(x)在(0,2上递减,g(x)0在(0,2上恒成立,即ax2-1在(0,2上恒成立,a(x2-1)max,x(0,2,a3.实数a的取值范围为3,+).B组提升题组12.(2016北京东城一模)函数f(x)的定义域为-1,1,图象如图1所示;函数g(x)的定义域为-1,2,图象如图2所示.若集合A=x|f(g(x)=0,B=x|g(f(x)=0,则AB中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C由题图1知f(x)-1,1,由题图2知g(x)0,1.若要解f(g(x)=0,即解g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1,由题图2得x=0或2或-1或1.即A=0,2,-1,1.若要解g(f(x)=0,即解f(x)=0或f(x)=2,由题图1得x=-1或0或1.B=-1,0,1.AB=-1,0,1.故AB中元素的个数为3.13.(2018北京丰台一模,13)函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,函数f(x)的图象由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).当x-1,1时,y的取值范围是;如果对任意xm,n(n0),都有y-2,1,那么n的最大值是.答案1,2-2解析y=f(x)的图象如图所示:根据f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,可知当x-1,1时,值域为1,2.当x0时,设抛物线的方程为f(x)=ax2+bx+c,图象过点(0,1),(1,2),(3,-2),代入计算得a=-1,b=2,c=1,f(x)=-x2+2x+1.当x0,f(-x)=-x2-2x+1.令y=1,得x=-2,结合图象得nmax=-2.14.(2018北京朝阳一模,14)已知aR,函数f(x)=(x+1)2+a,x0.(1)当x0时,函数f(x)的最大值是;(2)若函数f(x)的图象上有且仅有两对点关于y轴对称,则a的取值范围是.答案(1)(2)-1,12解析(1)当x0时, f(x)=sinx22x-1+2-x+1,令f1(x)=2x-1+2-x+1=2x-1+12x-12,当且仅当2x-1=12x-1,即x=1时取等号,当x=1时, f1(x)min=2.令f2(x)=sinx2,则f2(x)-1,1,且f2(1)=sin2=1=f2(x)max,f(x)max=f2(x)maxf1(x)min=.(2)f(x)的图象上有且仅有两对点关于y轴对称,即f(x)(x0)的图象仅有两个交点,当x0).函数f(x)=sinx22x-1+2-x+1(x0)的近似图象如图所示:当g(x)与f(x)的图象仅有两个交点时,-1a0时f(x)分母的最小值,结合正弦函数的值域即可求得x0时f(x)的最大值.(2)画出f(x)和g(x)的图象,利用数形结合思想求得a的范围.