20.2二项式定理挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二项式定理二项式定理展开式及其运用分析解读二项式定理、组合数求和及其性质一直是江苏卷附加题的热点和难点,该知识还与计数原理、复合函数的导数、数学归纳法以及概率、期望综合在一起考查,难度较大.破考点【考点集训】考点二项式定理1.x2-2x35展开式中的常数项为.答案402.设常数aR,若x2+ax5的二项展开式中x7项的系数为-10,则a=.答案-23.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为.答案564.在二项式x+3xn的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为.答案95.设aN,且0a13,若512 012+a能被13整除,则a等于.答案126.在x+124xn的展开式中,前三项的系数成等差数列,求:(1)展开式中含x的一次项;(2)展开式中的有理项.解析(1)二项展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)n-r124xr=Cnr12rx2n-3r4.令r=0,1,2,得前三项系数为1,12Cn1,14Cn2,因为前三项的系数成等差数列,所以有1+14Cn2=212Cn1,解得n=8.所以含x的一次项为T5=358x.(2)由(1)知通项为Tr+1=C8r12rx16-3r4,r=0,1,2,8,若为有理项,则16-3r是4的倍数,所以令r=0,4,8,得T1=x4,T5=358x,T9=1256x2.7.求证:32n+2-8n-9能被64整除(nN*).证明32n+2-8n-9=3232n-8n-9=99n-8n-9=9(8+1)n-8n-9=9(Cn08n+Cn18n-1+Cnn-18+Cnn1)-8n-9=9(8n+Cn18n-1+Cnn-282)+98n+9-8n-9=982(8n-2+Cn18n-3+Cnn-2)+64n=649(8n-2+Cn18n-3+Cnn-2)+n,32n+2-8n-9能被64整除.8.已知f(x)=(2+x)n,其中nN*.(1)若展开式中x3的系数为14,求n的值;(2)当x=3时,求证: f(x)必可表示成s+s-1(sN*)的形式.解析(1)由题意知二项展开式的通项为Tr+1=Cnr2n-rxr2.令r2=3,得r=6,故x3项的系数为Cn62n-6=14,解得n=7.(2)由二项式定理可知(2+3)n=Cn02n+Cn12n-13+Cn22n-2(3)2+Cnr2n-r(3)r+Cnn(3)n=Cn02n+Cn22n-2(3)2+3(Cn12n-1+Cn32n-33+).令x=Cn02n+Cn22n-2(3)2+,y=Cn12n-1+Cn32n-33+,显然xN*,yN*,则(2+3)n=x+3y,(2-3)n=x-3y,所以(2+3)n(2-3)n=x2-3y2=1.令s=x2,则必有s-1=x2-1=3y2.从而f(x)必可表示成s+s-1的形式,其中sN*.炼技法【方法集训】方法组合恒等式的证明1.(2018江苏宿迁中学月考)已知整数n4,集合M=1,2,3,n的所有3个元素的子集记为A1,A2,ACn3.(1)当n=5时,求集合A1,A2,ACn3中所有元素之和;(2)记mi为Ai中的最小元素,设Pn=m1+m2+mCn3,试求Pn.解析(1)当n=5时,含元素1的子集有6个,同理,含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)6=90.(2)由题设知,1min-2,miZ,并且以1为最小元素的子集有Cn-12个,以2为最小元素的子集有Cn-22个,以3为最小元素的子集有Cn-32,以n-2为最小元素的子集有C22个,则Pn=m1+m2+mCn3=1Cn-12+2Cn-22+3Cn-32+(n-2)C22=(n-2)C22+(n-3)C32+(n-4)C42+Cn-12=C22+(n-3)(C22+C32)+(n-4)C42+Cn-12=C22+(n-3)(C33+C32)+(n-4)C42+Cn-12=C22+(n-3)C43+(n-4)C42+Cn-12=C22+C43+(n-4)(C43+C42)+Cn-12=C22+C43+(n-4)C53+(n-5)C52+Cn-12=C44+C43+C53+Cn3=Cn+14.2.(2019届江苏常熟中学月考)当n1,nN*时.(1)求证:Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+(n-1)Cnn-1xn-2+nCnnxn-1=n(1+x)n-1;(2)求12Cn1+22Cn2+32Cn3+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn的值.解析(1)证明:设f(x)=(1+x)n,则(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnn-1xn-1+Cnnxn,式两边分别求导得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+(n-1)Cnn-1xn-2+nCnnxn-1.即原命题得证.(2)式两边同时乘x得nx(1+x)n-1=Cn1x+2Cn2x2+3Cn3x3+(n-1)Cnn-1xn-1+nCnnxn.式两边分别求导得n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2=Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+(n-1)2Cnn-1xn-2+n2Cnnxn-1.在式中令x=1,则12Cn1+22Cn2+32Cn3+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn=n2n-1+n(n-1)2n-2=2n-2(2n+n2-n)=2n-2n(n+1).3.(2017江苏常州期末)对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同构造等式,这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法,结合二项式定理,可以得到很多有趣的组合恒等式.例如,恒等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n(nN*),左边xn的系数为C2nn;而右边(1+x)n(1+x)n=(Cn0+Cn1x+Cnnxn)(Cn0+Cn1x+Cnnxn),xn的系数为Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+CnnCn0=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cnn)2,因此,可得到组合恒等式C2nn=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cnn)2.(1)根据恒等式(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(m,nN*)两边xk(其中kN,km,kn)的系数相同,直接写出一个恒等式;(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明:k=0n2Cn2k2n-2kC2kk=C2nn,其中n2是指不超过n2的最大整数.解析(1)Cm0Cnk+Cm1Cnk-1+CmkCn0=Cm+nk.(2)证明:等式2+x+1xn=(x+1)2nxn,2+x+1xn=r=0nCnr2n-rx+1xr=r=0nCnr2n-rk=0rCrkxr-k1xk,当且仅当r=2k时,xr-k1xk为常数,即等式左边的常数项为k=0n2Cn2k2n-2kC2kk,而等式右边的常数项为C2nn,所以k=0n2Cn2k2n-2kC2kk=C2nn成立.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点二项式定理1.(2017课标全国理改编,6,5分)1+1x2(1+x)6展开式中x2的系数为.答案302.(2017课标全国理改编,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为.答案403.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案44.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案16;45.(2016天津理,10,5分)x2-1x8的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-566.(2015课标改编,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为.答案307.(2015重庆,12,5分)x3+12x5的展开式中x8的系数是(用数字作答).答案528.(2015陕西改编,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n=.答案69.(2015湖北改编,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的两项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为.答案2910.(2014浙江改编,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.答案12011.(2014大纲全国,13,5分)xy-yx8的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案7012.(2014安徽,13,5分)设a0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案313.(2014山东,14,5分)若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.答案2C组教师专用题组1.(2016四川理改编,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为.答案-15x42.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)答案403.(2015安徽,11,5分)x3+1x7的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)答案354.(2015广东,9,5分)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案65.(2015湖南改编,6,5分)已知x-ax5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=.答案-66.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案-407.(2013天津理,10,5分)x-1x6的二项展开式中的常数项为.答案158.(2014课标,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)答案12【三年模拟】解答题(共80分)1.(2017江苏淮安清江中学月考)在2x-1x10的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解析(1)由二项式系数的性质知,2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,即C105=252,二项式系数最大的项为T6=C105(2x)5-1x5=-8 064.(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,Tk+1=C10k(2x)10-k-1xk=(-1)kC10k210-kx10-2k,C10k210-kC10k-1