高等数学(经济类) (第二版),与机械工业出版社版配套,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三章,一元函数微分学,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,英国数学家 Newton,3.2 求导法则,3.2.1 函数和、差、积、商和求导法则,3.2.2 反函数的求导法则,3.2.3 复合函数求导法则,3.2.4 基本求导法则与公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三章,3.2.1 函数和、差、积、商的求导法则,定理3-24,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( a为常数 ),3）另证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反函数的求导法则几何意义,(中学课本中，直接函数与反函数的图形关于y=x对称。并不矛盾）,为什么,？,当,时有同样结论。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反函数的求导法则,定理3-5,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反函数的导数等于直接函数导数的倒数,y 的某邻域内单调可导,2) 设,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,该求导公式亦可 用导数定义求,例 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2.3 复合函数求导法则,在点 x 可导,定理3-6,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即 函数 对自变量的导数,等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.(链式法则),复合函数求导法则学习是高等数 学学习的第一个分化点。务必要过关。,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,求,的导数,解：设,如果熟练，则可以,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,（1）,（2）,求导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求下列导数:,解: (1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,叫幂指函数.,说明:,其导数还可以用对求导法,见3.4.1,例 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,例 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2.4 基本求导法则与公式,( C为常数 ),（1）,（2）,（3）,(4),反函数的导数,复合函数导数,（5）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,求,解:,例,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,当题目中有积、商的对数的导数，应应用对数 公式将它们化为对数的和、差，再求导。 因和、差的导数等于导数的和、差。,内容小结,求导公式及求导法则,注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,查看,