7.3 偏 导 数,7.3.1 偏导数的概念,7.3.2 高阶偏导数,第 7 章 多元函数微积分,7.3.1 偏导数的概念,引例:,1. 偏导数的定义,记作：,如 在 处,解,2. 偏导数的计算,证,原结论成立,解,不存在,证,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,1,2,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,3,偏导数的几何意义,如图,4,几何意义:,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,7.3.2 高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,解,混合偏导数都相等吗？ 具备怎样的条件才相等？,定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导 数必相等,解,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),不能.,例如,思考题解答,本节的重点与难点,一、重点:,二、难点:,1 判断二元函数偏导数的存在性； 2计算多元函数的偏导数。,1 偏导数的定义； 2 判断二元函数偏导数的存在性； 3计算二元、多元函数的偏导数。,1 掌握偏导数的定义； 2 学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。,本节的学习目的与要求,