1,第十二章 动能定理,2,解：,例12-1已知：,求：,重力和弹性力的功之总和,3,例12-2.图示椭圆规尺AB的质量为 2m1 ,曲柄OC的质量为m1 ,而滑块A和B的质量均为m2.已知OC=AC=CB=l ,曲柄和尺的质心分别在其中点上,曲柄绕O轴转动的角速度为常量.求图示瞬时系统的动能.,4,解:系统由四个物体组成.,椭圆规尺AB作平面运动.瞬心为I.,I,IC = OC = l,vC,vA,vB,T = TOC +TAB +TA +TB,5,例4 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),动力学,6,解：取系统为研究对象,上式求导得：,动力学,7,例5 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？,动力学,8,解：研究OA杆,由,动力学,铅直位置OA,水平位置OA,9,例6行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,将式对t 求导数，得,10,例7两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，OA=0.9m ， AB=1.5m ，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,1 动能：,2 功,初瞬时：,末瞬时： OA杆转到铅垂位置,速度分析：AB杆作瞬时平动,11,举例说明动力学普遍定理的综合应用： 例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。,动力学,12,讨论 ：动量守恒定理动能定理求解。,动力学,解：由于不求系统的内力，研究对象：整体。,代入动能定理：,分析受力：,且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。,功：,13,动力学,代入动能定理：,讨论：如求杆到达地面时的角加速度,功：,到达地面时：,14,动力学,例2：重为P的均质三角板，从 时静止释放，各杆重不计， 求该瞬时板质心的加速度和各杆拉力。,A,B,C,D,45cm,30cm,G,解：研究三角板,受力如图,坐标系如图,由刚体平面运动微分方程,解得：,15,例3 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度及连杆AB的内力。,动力学,解：选系统为研究对象,运动学关系：,由动能定理：,对求导，得,16,二、研究滑块B：受力如图,动力学,方向如图,17,例4 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,动力学,18,（2）用动能定理求速度。,代入数据，得,动力学,取系统研究。,最低位置时：,初始时T1=0 ，,19,（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。,由于,所以 A0 。,动力学,杆质心 C的加速度：,（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。,代入数据，得,盘质心加速度：, 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。,20,动力学,例5 均质杆、均质圆盘，已知如图，基本量计算 (动量,动量矩,动能),21,解：取杆为研究对象,由质心运动定理：,动力学,例6 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。,由动量矩定理：,22,动力学,例7 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。,解：由于水平方向不受外力，水平方向 动量守恒，且初始静止，故质心C铅垂下降。,由于约束反力不作功, 主动力为有势力，可用机械能守恒定律求解。,初瞬时：,任一瞬时：,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得,23,例8已知：图示系统，均质圆轮 A和定滑轮C质量均为m，半径均为r，圆轮A可沿倾角=30的斜面纯滚动，轮心A与质量为2m的物块B用不可伸长的绳子连接，如图示。,求：1、轮心 A的加速度 ； 2、轮A与斜面间的滑动摩擦力 。,动力学,24,解：,1、系统整体受力与运动分析，如图（a）所示。,设物块B下降了h，,则动能,25,功：,由动能定理微分形式,，得,26,2、研究物块B，分析如图（b）所示,由质心运动定理，得,解得,3、研究圆轮C，分析如图（c）所示,由定轴刚体转动微分方程，得,将,代入上式，得,27,由质心运动定理，得,解得,4、研究圆轮A，分析如图（d）所示,方法二,28,例9 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,动力学,解：(1)用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,由动能定理的微分形式：,两边除以 ，并求导数，得,29,(2) 用动量矩定理求解 取系统为研究对象,动力学,根据动量矩定理： ，得,