2,第9章 多元函数微分学,基本要求 了解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续的概念 会求二元函数的定义域 理解偏导数的概念并会求偏导数 理解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件 掌握多元复合函数求偏导数的方法 会求函数的全微分 掌握隐函数(一元、多元)的求导法则 会求二元函数的无条件极值,3,本章重点 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 多元函数的偏导数的概念及求法 多元函数的全微分的概念及求法 多元复合函数的求导法则及隐函数的求导法则 二元函数的极值的概念及求法 多元函数微分在几何上的应用 本章难点 正确理解多元函数极限的定义 理解多元函数偏导数的几何意义 对多元复合函数求偏导数,4,9.1 多元函数的概念和二元函数的极限与连续,9.1.1 多元函数的概念 1区域 (1) 邻域 (2) 区域的概念 2多元函数的概念 (1) 二元函数的概念 (2) 多元函数的概念,5,9.1.2 二元函数的极限与连续,1二元函数的极限 2二元函数的连续性,6,习题9.1,参见教材P206,7,9.2 偏 导 数,9.2.1 多元函数的偏导数 1偏导数的概念 2偏导数的几何意义,8,9.2.2 高阶偏导数,9,习题9.2,参见教材P210,10,9.3 全 微 分,9.3.1 全微分的概念,11,9.3.2 全微分的应用,12,习题9.3,参见教材P213,13,9.4 多元复合函数的求导和隐函数的求导法则,9.4.1 多元复合函数的求导法则,14,9.4.2 隐函数的求导法则,15,习题9.4,参见教材P217,16,9.5 偏导数在几何上的应用,本节主要利用偏导数来求空间曲线的切线和法平面以及空间曲面的切平面和法线两类问题。,17,9.5.1 空间曲线的切线和法平面,18,9.5.1 空间曲线的切线和法平面,19,9.5.2 空间曲面的切平面和法线,20,习题9.5,参见教材P221,21,9.6 多元函数的极值与最值,在实际问题中，时常会遇到求最大值或最小值的问题，而这些最值往往与极值有密切的联系。下面仿照一元函数极值问题，并以二元函数为例来讨论多元函数极值和最值问题。,22,9.6.1 多元函数的极值,23,9.6.1 多元函数的极值,24,9.6.2 多元函数的最值,从有界闭区域上连续函数的性质9.1可以看出多元函数最值存在的条件。 对多元函数求最值，有类似于一元函数求最值的方法：将函数在有界闭区域内的驻点的函数值同区域边界上点的函数值作比较，其中最大的就是函数在有界闭区域上的最大值；最小的就是函数在有界闭区域上的最小值。 对实际问题求最值，一般可按下面的步骤来解答。 (1) 由题意建立函数关系式，并确定函数的定义域。 (2) 在其定义域内求驻点(一般情况是唯一的)。 (3) 从实际意义出发，确定问题有最大值还是有最小值。,25,9.6.3 条件极值,1将条件极值转化为无条件极值 2拉格朗日乘数法,26,习题9.6,参见教材P226,27,小 结,本章知识构架,28,典型问题与分析 1求二元函数的定义域。 2求多元函数的偏导数。 3求隐函数的导数或偏导数。 4求二元函数的极值或最值。 学法指导 1一元函数与二元函数及多元函数的实质是一致的，所以多元函数的绝大多数性质、定理和结论与一元函数的基本类似，同学们可以结合着来学习本章。 2求实际问题中的最值是本章的一个重要应用，求解这类问题的关键在于建立函数数关系式和约束条件，大家应该通过适当习题来加强这方面的训练。,29,复习题9,参见教材P228,